log2 (x-5) + log2 (x+2) = 3
Чтобы решить уравнение \( \log_2 (x-5) + \log_2 (x+2) = 3 \), воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения. Это позволяет переписать уравнение следующим образом:
\[ \log_2 ((x-5)(x+2)) = 3 \]
Теперь, чтобы избавиться от логарифма, применим определение логарифма. Поскольку \( \log_2 (y) = 3 \) означает, что \( y = 2^3 \), можем записать:
\[ (x-5)(x+2) = 8 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ x^2 + 2x - 5x - 10 = 8 \] \[ x^2 - 3x - 10 = 8 \]
Переносим 8 на левую сторону уравнения:
\[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]
Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или квадратного модуля:
Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
в нашем случае \( a = 1, b = -3, c = -18 \):
\[ b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 \]
Теперь находим корни:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{3 \pm 9}{2} \]
Это дает два решения:
- \( x = \frac{12}{2} = 6 \)
- \( x = \frac{-6}{2} = -3 \)
Теперь необходимо проверить, подходят ли эти решения для оригинального уравнения. Логарифмы определены только для положительных аргументов:
Для \( x = 6 \):
- \( x-5 = 1 \) (положительное), \( x+2 = 8 \) (положительное) → допустимо.
Для \( x = -3 \):
- \( x-5 = -8 \) (отрицательное), \( x+2 = -1 \) (отрицательное) → недопустимо.
Таким образом, единственное решение данного уравнения:
\[ \boxed{6} \]
