x! - x=

Чтобы решить уравнение \( x! - x = 0 \), начнем с его анализа. Здесь \( x! \) обозначает факториал числа \( x \), который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до \( x \).

Мы можем перезаписать уравнение как:

\( x! = x \)

Теперь давайте рассмотрим различные целые значения \( x \):

1. Если \( x = 1 \): \[ 1! = 1 \quad \text{и} \quad 1 = 1 \quad \text{(равенство выполняется)} \]

2. Если \( x = 2 \): \[ 2! = 2 \quad \text{и} \quad 2 = 2 \quad \text{(равенство выполняется)} \]

3. Если \( x = 3 \): \[ 3! = 6 \quad \text{и} \quad 3 \neq 6 \quad \text{(равенство не выполняется)} \]

4. Если \( x = 4 \) и выше: \[ 4! = 24 \quad \text{и} \quad x \quad \text{(равенство также не будет выполняться)} \] Факториал будет расти гораздо быстрее, чем само число \( x \).

Таким образом, единственные решения уравнения \( x! - x = 0 \) — это \( x = 1 \) и \( x = 2 \).