Симметричную монсту бросают 10 раз. Bо сколько раз вероятность события «выпалет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»? 2. Стрелок стреляет по одному…

Давайте разберёмся с каждым из ваших вопросов по очереди, используя закон больших чисел и формулы распределения Бернулли.

1. Монета

Мы рассматриваем бросок симметричной монеты 10 раз. Используя формулу вероятности для распределения Бернулли:

\[ P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который равен \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( n \) — общее количество бросков (в данном случае 10),
• \( k \) — количество успешных исходов (орлов),
• \( p \) — вероятность успеха (в данном случае \( p = 0.5 \) для симметричной монеты).

Для «выпадет ровно 5 орлов»:

\[ P(X=5) = C(10, 5) \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5} = C(10, 5) \cdot (0.5)^{10} \]

Считаем:

\[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!5!} = 252 \]

Следовательно:

\[ P(X=5) = 252 \cdot (0.5)^{10} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024} \]

Для «выпадет ровно 4 орла»:

\[ P(X=4) = C(10, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{10-4} = C(10, 4) \cdot (0.5)^{10} \]

Считаем:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]

Следовательно:

\[ P(X=4) = 210 \cdot (0.5)^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} \]

Теперь найдём отношение вероятностей:

\[ \frac{P(X=5)}{P(X=4)} = \frac{\frac{252}{1024}}{\frac{210}{1024}} = \frac{252}{210} = \frac{12}{10} = 1.2 \]

Таким образом, вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла» в 1.2 раза.

2. Стрелок с мишенями

Вероятность поразить мишень \( p = 0.8 \) и количество мишеней \( n = 5 \).

Для события «стрелок поразит ровно 4 мишени»:

\[ P(Y=4) = C(5, 4) \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^{5-4} = 5 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1 \]

Считаем:

\[ P(Y=4) = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 5 \cdot 0.08192 = 0.4096 \]

Для события «стрелок поразит ровно 3 мишени»:

\[ P(Y=3) = C(5, 3) \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^{5-3} = 10 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^2 \]

Считаем:

\[ P(Y=3) = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 10 \cdot 0.02048 = 0.2048 \]

Теперь найдём отношение вероятностей:

\[ \frac{P(Y=4)}{P(Y=3)} = \frac{0.4096}{0.2048} = 2 \]

Таким образом, вероятность события «стрелок поразит ровно 4 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 3 мишени» в 2 раза.

3. Второй выстрел по каждой мишени

Теперь мы рассматриваем случай, где стрелок может сделать до двух выстрелов по каждой из 5 мишеней, при этом вероятность поразить мишень с каждым выстрелом равна \( 0.6 \).

Для события «стрелок поразит ровно 5 мишеней»:

Сначала определим общее количество успешных попыток:

• Вероятность поразить 1 мишень за 2 выстрела:

\[ P(\text{Успех}) = 1 - P(\text{Промах}) = 1 - (0.4)^2 = 1 - 0.16 = 0.84 \]

Теперь можем использовать биномиальное распределение:

\[ P(Z=5) = C(5, 5) \cdot (0.84)^5 \cdot (0.16)^0 = 1 \cdot (0.84)^5 \]

Считаем:

\[ P(Z=5) \approx 0.418211942 \]

Для события «стрелок поразит ровно 4 мишени»:

\[ P(Z=4) = C(5, 4) \cdot (0.84)^4 \cdot (0.16)^1 = 5 \cdot (0.84)^4 \cdot (0.16) \]

Считаем:

\[ P(Z=4) \approx 5 \cdot 0.352947 \cdot 0.16 \approx 0.282367 \]

Теперь найдём отношение вероятностей:

\[ \frac{P(Z=5)}{P(Z=4)} \approx \frac{0.418211942}{0.282367} \approx 1.48 \]

Таким образом, вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени» примерно в 1.48 раза.

Если будут дополнительные вопросы или необходимо разъяснить какой-либо момент, не стесняйтесь спрашивать!