По кругу расставлены 14 положительных чисел не обязательно целых сумма любых четырёх чисел стоящих подряд равна 30 Докажите что каждый из этих чисел меньше 15

Давайте рассмотрим задачу более подробно. У нас есть 14 положительных чисел, расположенных по кругу, и сумма любых четырёх подряд стоящих чисел равна 30. Нам нужно доказать, что каждое из этих чисел меньше 15.

Обозначим наши числа как \( a_1, a_2, \ldots, a_{14} \). Условия задачи дают нам следующее равенство для любых \( i \):

\[ a_i + a_{i+1} + a_{i+2} + a_{i+3} = 30 \]

где индексы принимаются по модулю 14. Давайте сложим все такие равенства. Мы получаем:

\[ (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) + (a_2 + a_3 + a_4 + a_5) + (a_3 + a_4 + a_5 + a_6) + \ldots + (a_{14} + a_1 + a_2 + a_3) = 30 \times 14 \]

Обратите внимание, что каждое \( a_i \) появляется ровно 4 раза в этой сумме (так как каждая четвёрка включает это число). Поэтому мы можем переписать левую часть суммы:

\[ 4(a_1 + a_2 + \ldots + a_{14}) = 420 \]

Следовательно,

\[ a_1 + a_2 + \ldots + a_{14} = \frac{420}{4} = 105. \]

Теперь найдем среднее значение \( A \) наших 14 чисел:

\[ A = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_{14}}{14} = \frac{105}{14} = 7.5. \]

Сейчас мы знаем, что сумма всех 14 чисел равна 105, и среднее значение составляет 7.5. Каждое из чисел положительно, и давайте предположим, что одно из чисел \( a_i \) больше или равно 15. Тогда, если \( a_i \geq 15 \), то оставшиеся 13 чисел должны составлять сумму не менее:

\[ 105 - 15 = 90, \]

что в свою очередь даст среднее значение для остальных 13 чисел:

\[ \frac{90}{13} \approx 6.92. \]

Таким образом, 14-ое число должно быть как минимум 15, но в этом случае среднее значение всех чисел не могло бы превышать 7.5, если мы имеем в виду, что \( a_i < 15 \).

Таким образом, приходим к противоречию: если хотя бы одно число было бы равно 15 или больше, то в этом случае не могло бы выполниться условие о сумме четырёх подряд стоящих чисел. Следовательно, все числа \( a_i < 15 \).

Таким образом, мы доказали, что каждое из 14 чисел меньше 15.