какова вероятность того, что из 4 бросков игрального кубика единица выпадет ровно два раза
Чтобы рассчитать вероятность того, что при 4 бросках игрального кубика число 1 выпадет ровно два раза, можно воспользоваться биномиальным распределением.
Вероятность выпадения 1 при одном броске кубика равна \( p = \frac{1}{6} \), так как на кубике 6 граней. Вероятность того, что 1 не выпадет, равна \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).
Формула для биномиального распределения выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( n \) — общее количество бросков (в данном случае 4),
- \( k \) — количество раз, когда мы хотим, чтобы выпала единица (в данном случае 2),
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Теперь подставим наши значения:
- Вычислим биномиальный коэффициент \( C(4, 2) \):
\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]
- Теперь подставляем значения в формулу:
\[ P(X = 2) = C(4, 2) \cdot p^2 \cdot q^{4-2} \]
Подставим \( p = \frac{1}{6} \) и \( q = \frac{5}{6} \):
\[ P(X = 2) = 6 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \]
- Вычислим это:
\[ P(X = 2) = 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = 6 \cdot \frac{25}{1296} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} \]
Таким образом, вероятность того, что единица выпадет ровно два раза при 4 бросках игрального кубика, составляет \( \frac{25}{216} \).
