Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта A в пункт B , расположенный в 30 км от A . Пробыв в пункте B 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт A в 18:00 того же…

Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберем её.

1. Определим время в пути:
   Лодка вышла из пункта A в 10:00 и вернулась обратно в 18:00, значит, общее время в пути составило 8 часов (с 10:00 до 18:00).

2. Время на пункте B:
   Лодка пробыла в пункте B 2 часа 30 минут, что равняется 2,5 часа.

3. Теперь найдем общее время, проведенное в пути:
   Общее время в пути = 8 часов (время от A до возвращения обратно в A) - 2,5 часа (время в B) = 5,5 часов.
   Это время нужно разделить на две части: время, затраченное на путь от A до B, и время на обратный путь от B до A.

4. Теперь определим время в пути от A до B и от B до A:
   Обозначим время, которое лодка потратила на путь от A до B как \( t_1 \) и на обратный путь от B до A как \( t_2 \).

Согласно условиям задачи, мы знаем, что:

• Расстояние от A до B (и обратно) равно 30 км.
• Скорость течения реки составляет 1 км/ч.

5. Скорость лодки:
   Обозначим скорость лодки относительно воды как \( v \). Тогда:

• Скорость лодки вниз по течению (от A до B) будет \( v + 1 \) км/ч.
• Скорость лодки вверх по течению (от B до A) будет \( v - 1 \) км/ч.

Запишем уравнения для времени в пути:

• Для пути от A до B:
  \[ t_1 = \frac{30}{v + 1} \]
• Для пути от B до A:
  \[ t_2 = \frac{30}{v - 1} \]

Согласно ранее полученному значению,
\[ t_1 + t_2 = 5,5 \] (время в пути).
Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \) в это уравнение: \[ \frac{30}{v + 1} + \frac{30}{v - 1} = 5,5 \]

6. Умножим всё на общее знаменатель:
   Умножим обе части уравнения на \( (v + 1)(v - 1) \): \[ 30(v - 1) + 30(v + 1) = 5,5(v^2 - 1) \]

7. Упростим уравнение:
   \[ 30v - 30 + 30v + 30 = 5,5v^2 - 5,5 \]
   \[ 60v = 5,5v^2 - 5,5 \]
   Теперь приведем всё к одному уравнению:
   \[ 5,5v^2 - 60v - 5,5 = 0 \]

8. Умножим всё на 2 для удобства:
   \[ 11v^2 - 120v - 11 = 0 \]

9. Используя дискриминант:
   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-120)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-11) = 14400 + 484 = 14884 \).

10. Находим корни уравнения:
    \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{120 \pm \sqrt{14884}}{22} \]

11. Вычислим корни:
    Корень из \( 14884 \) примерно равен \( 122 \). Подставляем:
    \[ v_1 = \frac{120 + 122}{22} \approx 11,0 \, \text{км/ч} \]
    \[ v_2 = \frac{120 - 122}{22} \approx -0,1 \, \text{(не имеет смысла, так как скорость не может быть отрицательной)} \]

Таким образом, собственная скорость лодки составляет примерно 11 км/ч.