монету подбрасывает 8 раз. какова вероятность что ровно 5 раз выпадет цифра
Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для биномиального распределения, так как подбрасывание монеты — это ограниченный случай с двумя возможными результатами: "орел" или "решка".
Вероятность того, что при n подбрасываниях монеты останется ровно k успешных исходов, можно вычислить по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — число сочетаний (комбинация) из n по k,
- \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, выпадение "орла"), которая равна 0.5,
- \( n \) — общее число попыток (в нашем случае 8),
- \( k \) — количество успехов, которое мы хотим получить (в нашем случае 5).
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Вычислим \( C(8, 5) \):
\[ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \]
- Подсчитаем вероятности:
\[ p = 0.5 \] \[ 1 - p = 0.5 \]
- Теперь подставим всё в формулу:
\[ P(X = 5) = C(8, 5) \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{8-5} \] \[ P(X = 5) = 56 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^3 \] \[ P(X = 5) = 56 \cdot (0.5)^8 \] \[ P(X = 5) = 56 \cdot \frac{1}{256} \] \[ P(X = 5) = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} \]
Таким образом, вероятность того, что ровно 5 раз при 8 подбрасываниях монеты выпала "орел" равна \( \frac{7}{32} \) или примерно 0.21875 (21.875%).
