Найдите четырёхзначное число сумма которого равна разности между 2011 и этим же четырёхзначным числом

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим четырёхзначное число как \( x \). По условию, сумма цифр этого числа равна разности между 2011 и самим числом \( x \). То есть, мы можем записать уравнение:

\[ S(x) = 2011 - x \]

где \( S(x) \) — сумма цифр числа \( x \).

Теперь, поскольку \( x \) четырёхзначное число, оно должно находиться в диапазоне от 1000 до 9999. Сначала мы найдем максимальное значение суммы цифр \( S(x) \). Для четырёхзначного числа максимальная сумма цифр достигается, если все цифры максимальны, что будет:

\[ 9 + 9 + 9 + 9 = 36 \]

Так как это максимальная сумма, \( S(x) \) не может быть больше 36. Теперь мы можем записать в нашем уравнении следующее неравенство:

\[ 36 \geq 2011 - x \]

Переписывая его, получаем:

\[ x \geq 2011 - 36 \\ x \geq 1975 \]

Теперь давайте рассмотрим минимальное значение \( x \). Поскольку \( x \) — четырёхзначное число, минимально оно равно 1000. Проверим, что выполняется условие:

\[ x \leq 2011 \]

Из этих двух неравенств мы можем утверждать, что:

\[ 1975 \leq x < 2011 \]

Теперь попробуем подобрать значение \( x \) из диапазона, проверяя, чтобы сумма цифр совпадала с \( 2011 - x \).

1. Проверим \( x = 2000 \):

   • Сумма цифр \( S(2000) = 2 + 0 + 0 + 0 = 2 \)
   • Проверяем: \( 2011 - 2000 = 11 \). Не совпадает.

2. Проверим \( x = 1999 \):

   • Сумма цифр \( S(1999) = 1 + 9 + 9 + 9 = 28 \)
   • Проверяем: \( 2011 - 1999 = 12 \). Не совпадает.

3. Проверим \( x = 1986 \):

   • Сумма цифр \( S(1986) = 1 + 9 + 8 + 6 = 24 \)
   • Проверяем: \( 2011 - 1986 = 25 \). Не совпадает.

4. Проверим \( x = 1975 \):

   • Сумма цифр \( S(1975) = 1 + 9 + 7 + 5 = 22 \)
   • Проверяем: \( 2011 - 1975 = 36 \). Не совпадает.

5. Проверим \( x = 1976 \):

   • Сумма цифр \( S(1976) = 1 + 9 + 7 + 6 = 23 \)
   • Проверяем: \( 2011 - 1976 = 35 \). Не совпадает.

6. Проверим \( x = 1983 \):

   • Сумма цифр \( S(1983) = 1 + 9 + 8 + 3 = 21 \)
   • Проверяем: \( 2011 - 1983 = 28 \). Не совпадает.

Соответственно, проверяя значения от 1975 до 2011, мы находим:

1. Проверим \( x = 1991 \):
   • Сумма цифр \( S(1991) = 1 + 9 + 9 + 1 = 20 \)
   • Проверяем: \( 2011 - 1991 = 20 \). Совпадает!

Таким образом, найдённое число — 1991.