2. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Для решения этой задачи можно использовать формулу Байеса. Нам нужно найти вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, произошло из первого хозяйства, учитывая, что оно является яйцом высшей категории.

Обозначим:

• \( A_1 \) – событие, что яйцо из первого хозяйства.
• \( A_2 \) – событие, что яйцо из второго хозяйства.
• \( B \) – событие, что яйцо высшей категории.

Из условия задачи мы можем выделить следующие данные:

• \( P(B | A_1) = 0.4 \) (вероятность того, что яйцо высшей категории, если оно из первого хозяйства).
• \( P(B | A_2) = 0.2 \) (вероятность того, что яйцо высшей категории, если оно из второго хозяйства).
• \( P(B) = 0.35 \) (общая вероятность того, что яйцо высшей категории).

Мы не знаем, сколько яиц закупается из каждого хозяйства, поэтому предположим, что количество закупаемых яиц из первого и второго хозяйств одинаково, т.е. \( P(A_1) = P(A_2) = 0.5 \).

Теперь нам нужно использовать формулу полной вероятности для нахождения вероятности \( P(B) \):

\[ P(B) = P(B | A_1) \cdot P(A_1) + P(B | A_2) \cdot P(A_2) \]

Подставим известные значения:

\[ P(B) = 0.4 \cdot 0.5 + 0.2 \cdot 0.5 = 0.2 + 0.1 = 0.3 \]

Однако, по условию, \( P(B) = 0.35 \). Это подразумевает, что доли яиц из хозяйств разные. На основе ненавязчивого предположения давайте обозначим \( P(A_1) = p \), и тогда \( P(A_2) = 1 - p \):

\[ P(B) = 0.4p + 0.2(1 - p) = 0.4p + 0.2 - 0.2p = 0.2p + 0.2 \]

Теперь приравняем это выражение к 0.35:

\[ 0.2p + 0.2 = 0.35 \]

Решим это уравнение:

\[ 0.2p = 0.35 - 0.2 \] \[ 0.2p = 0.15 \] \[ p = \frac{0.15}{0.2} = 0.75 \]

Таким образом, \( P(A_1) = 0.75 \) и \( P(A_2) = 0.25 \).

Теперь можем найти искомую вероятность \( P(A_1 | B) \) с помощью теоремы Байеса:

\[ P(A_1 | B) = \frac{P(B | A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]

Подставим известные значения:

\[ P(A_1 | B) = \frac{0.4 \cdot 0.75}{0.35} \] \[ P(A_1 | B) = \frac{0.3}{0.35} \approx 0.857 \]

Таким образом, вероятность того, что яйцо, купленное у агрофирмы, окажется из первого хозяйства, составляет примерно 0.857 или 85.7%.