При делении натурального числа n на 3 в остатке получается 2. Чему равен остаток от деления n*n+5*n на 9?
Чтобы решить задачу, сначала разберемся, что значит "при делении натурального числа \( n \) на 3 в остатке получается 2". Это значит, что мы можем выразить \( n \) в виде:
\[ n = 3k + 2 \]
где \( k \) — это натуральное число.
Теперь рассмотрим выражение \( n^2 + 5n \) и найдем его остаток от деления на 9.
Подставим \( n \) в выражение:
\[ n^2 + 5n = (3k + 2)^2 + 5(3k + 2) \]
Раскроем скобки:
\[ = (9k^2 + 12k + 4) + (15k + 10) \]
Объединяем все члены:
\[ = 9k^2 + 12k + 15k + 4 + 10 = 9k^2 + 27k + 14 \]
Теперь найдем остаток от деления на 9. Обратите внимание, что \( 9k^2 \) и \( 27k \) делится на 9 без остатка, так что они не влияют на остаток.
Так, нам остается только:
\[ 14 \mod 9 \]
Делим 14 на 9, получаем:
\[ 14 = 9 \cdot 1 + 5 \]
Таким образом, остаток от деления 14 на 9 равен 5.
Итак, ответ: остаток от деления \( n^2 + 5n \) на 9 равен 5.
