В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня…
В годовой контрольной работе 5 5 задач, в каждой из которых 4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы 2 2 задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. В этом случае вероятность успеха составит p = 1 4 p= 4 1 . Какова вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу? Запиши в поле ответа верное число, округлив его до сотых.
Для решения задачи, давайте сначала определим, сколько есть вариантов, при которых Ваня не пойдет на пересдачу. Он должен решить верно хотя бы 2 из 5 задач. Вероятность правильного ответа на одну задачу составляет \(p = \frac{1}{4}\), а вероятность неправильного ответа будет \(1 - p = \frac{3}{4}\).
Теперь выделим несколько случаев, когда Ваня решает 2, 3, 4 или 5 задач правильно. Используем формулу биномиального распределения:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, определяющий количество способов выбрать \(k\) успешных результатов из \(n\).
Здесь:
- \(n = 5\) (количество задач),
- \(p = \frac{1}{4}\) (вероятность правильного ответа),
- \(1 - p = \frac{3}{4}\) (вероятность неправильного ответа).
Теперь вычислим вероятность для каждого успешного случая:
Верно 2 задачи: \[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} \]
Верно 3 задачи: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{64} \cdot \frac{9}{16} = \frac{90}{1024} \]
Верно 4 задачи: \[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{256} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{1024} \]
Верно 5 задач: \[ P(X = 5) = C(5, 5) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024} \]
Теперь складываем эти вероятности:
\[ P(\text{не пойти на пересдачу}) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = \frac{270}{1024} + \frac{90}{1024} + \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{376}{1024} \]
Теперь упростим дробь:
\[ \frac{376}{1024} = \frac{47}{128} \approx 0.3671875 \]
Округляем до сотых:
\[ \approx 0.37 \]
Следовательно, вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, составляет примерно 0.37.
