Дан квадрат A B C D ABCD со стороной A B = 3. AB=3. Найдите скалярное произведение векторов B C → BC и C A → . CA .

Для нахождения скалярного произведения векторов \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{CA} \) в квадрате \( ABCD \) со стороной \( AB = 3 \), сначала давайте определим координаты вершин квадрата.

Предположим, что:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(3, 0) \)
• \( C(3, 3) \)
• \( D(0, 3) \)

Теперь найдем векторы \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{CA} \).

1. Вектор \( \overrightarrow{BC} \) можно вычислить следующим образом: \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (3, 3) - (3, 0) = (0, 3) \]

2. Вектор \( \overrightarrow{CA} \): \[ \overrightarrow{CA} = A - C = (0, 0) - (3, 3) = (-3, -3) \]

Теперь, чтобы найти скалярное произведение \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{CA} \), используем формулу для скалярного произведения:

\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y \]

Подставим наши векторы в формулу: \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = (0, 3) \cdot (-3, -3) = 0 \cdot (-3) + 3 \cdot (-3) = 0 - 9 = -9 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{BC} \) и \( \overrightarrow{CA} \) равно \( -9 \).