Дан равносторонний треугольник A B C ABC со стороной A B = 2. AB=2. Найдите скалярное произведение векторов A B → AB и A C → . AC .

Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) в равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(AB = 2\), начнем с определения координат точек \(A\), \(B\) и \(C\).

1. Допустим, что точка \(A\) находится в начале координат, т.е. \(A(0, 0)\).
2. Точка \(B\) будет находиться на оси \(x\) на расстоянии 2 от \(A\): \(B(2, 0)\).

Теперь найдём координаты точки \(C\). В равностороннем треугольнике угол \(\angle ACB\) равен \(60^\circ\). Мы можем использовать свойства треугольника и тригонометрию для определения координат точки \(C\):

• Поскольку \(C\) также находится на расстоянии 2 от обеих точек \(A\) и \(B\), его координаты можно найти следующим образом:
• Находясь на вершине равностороннего треугольника, координаты точки \(C\) будут: \[ C\left(1, \sqrt{3}\right) \]

Теперь получим векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\):

\[ \vec{AB} = B - A = (2, 0) - (0, 0) = (2, 0) \] \[ \vec{AC} = C - A = \left(1, \sqrt{3}\right) - (0, 0) = (1, \sqrt{3}) \]

Теперь можно вычислить скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\): \[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2, 0) \cdot (1, \sqrt{3}) = 2 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{3} = 2 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) равно \(2\).