Дан равносторонний треугольник A B C ABC со стороной A B = 2 . AB=2. Найдите скалярное произведение векторов B C → BC и C A → . CA .

Рассмотрим равносторонний треугольник \( ABC \) со стороной \( AB = 2 \). Для начала необходимо определить координаты всех вершин треугольника. Предположим, что точка \( A \) находится в начале координат: \( A(0, 0) \), точка \( B(2, 0) \), а точка \( C \) будет располагаться на высоте.

Координаты точки \( C \) можно найти, используя свойства равностороннего треугольника. Высота \( h \) треугольника \( ABC \) может быть найдена с помощью формулы для высоты:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a, \]

где \( a = 2 \) - длина стороны. Таким образом:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}. \]

Таким образом, координаты точки \( C \) будут:

\[ C(1, \sqrt{3}). \]

Теперь найдем векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{CA} \):

1. Вектор \( \vec{BC} \):

\[ \vec{BC} = C - B = (1, \sqrt{3}) - (2, 0) = (-1, \sqrt{3}). \]

2. Вектор \( \vec{CA} \):

\[ \vec{CA} = A - C = (0, 0) - (1, \sqrt{3}) = (-1, -\sqrt{3}). \]

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{CA} \):

\[ \vec{BC} \cdot \vec{CA} = (-1) \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) = 1 - 3 = -2. \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{CA} \) равно \(-2\).