Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 16 см, а площадь треугольника равна 32 см2
Для нахождения катетов прямоугольного треугольника, если известны их сумма и площадь, можно воспользоваться следующими формулами:
Пусть катеты треугольника обозначим как \( a \) и \( b \).
Из условия задачи нам известно, что:
- Сумма катетов \( a + b = 16 \) см
- Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2} \times a \times b = 32 \) см²
Теперь можно выразить один из катетов через другой. Из первого уравнения:
\[ b = 16 - a \]
Подставим это значение во второе уравнение:
\[ \frac{1}{2} \times a \times (16 - a) = 32 \]
Умножим обе стороны уравнения на 2:
\[ a \times (16 - a) = 64 \]
Раскроем скобки:
\[ 16a - a^2 = 64 \]
Переносим все в одну сторону находим квадратное уравнение:
\[ a^2 - 16a + 64 = 0 \]
Теперь воспользуемся формулой решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -16 \), \( c = 64 \):
\[ D = (-16)^2 - 4 \times 1 \times 64 = 256 - 256 = 0 \]
Так как дискриминант равен нулю, у этого уравнения есть один корень:
\[ a = \frac{-b}{2a} = \frac{16}{2} = 8 \]
Теперь подставим значение \( a \) в формулу для \( b \):
\[ b = 16 - 8 = 8 \]
Таким образом, оба катета равны:
\[ a = 8 \text{ см} \] \[ b = 8 \text{ см} \]
Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 8 см.
