Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого. Периметр треугольника равен 24 см. Найдите все стороны треугольника

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим длины катетов прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \), где \( b = a + 2 \) см (так как один катет на 2 см больше другого). Периметр треугольника равен 24 см, что можно записать следующим образом:

\[ a + b + c = 24, \]

где \( c \) — гипотенуза. Мы можем также выразить \( c \) через \( a \) и \( b \) по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2}. \]

Теперь подставим \( b = a + 2 \) в уравнение периметра:

\[ a + (a + 2) + c = 24. \]

Сначала упростим это уравнение:

\[ 2a + 2 + c = 24 \implies 2a + c = 22 \implies c = 22 - 2a. \]

Теперь подставим это значение \( c \) в уравнение Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2. \]

То есть:

\[ (22 - 2a)^2 = a^2 + (a + 2)^2. \]

Раскроем квадрат:

\[ (22 - 2a)(22 - 2a) = 484 - 88a + 4a^2. \]

Теперь раскроем правую часть:

\[ a^2 + (a^2 + 4a + 4) = 2a^2 + 4a + 4. \]

Приравняем обе части:

\[ 484 - 88a + 4a^2 = 2a^2 + 4a + 4. \]

Переносим все в одну сторону:

\[ 4a^2 - 2a^2 - 88a - 4a + 484 - 4 = 0 \implies 2a^2 - 92a + 480 = 0. \]

Теперь упростим уравнение:

\[ a^2 - 46a + 240 = 0. \]

Решим это квадратное уравнение по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 2116 - 960 = 1156. \]

Находим корни уравнения:

\[ a = \frac{46 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{46 \pm 34}{2}. \]

Рассмотрим два случая:

1. \( a = \frac{80}{2} = 40 \).
2. \( a = \frac{12}{2} = 6 \).

Теперь найдем \( b \) и \( c \) для каждого случая:

1. Если \( a = 40 \), тогда \( b = 42 \) и \( c = \sqrt{40^2 + 42^2} = \sqrt{1600 + 1764} = \sqrt{3364} = 58 \) (периметр не выполняется, т.к. \( 40 + 42 + 58 \neq 24 \)).

2. Если \( a = 6 \), тогда \( b = 8 \) и \[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. \] Проверяем периметр: \( 6 + 8 + 10 = 24 \), что подходит.

Таким образом, катеты и гипотенуза треугольника равны:

• Катет \( a = 6 \) см,
• Катет \( b = 8 \) см,
• Гипотенуза \( c = 10 \) см.

Ответ: катеты равны 6 см и 8 см, гипотенуза — 10 см.