Найди вероятность того, что четвёрка выпадет ровно четыре раза, если игральную кость бросают 6 раз. (Ответ округли до десятитысячных.)
Чтобы найти вероятность того, что четвёрка выпадет ровно четыре раза при бросании игральной кости 6 раз, мы можем использовать биномиальное распределение.
Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз,
- \( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \) (насколько раз мы можем выбрать \( k \) успехов из \( n \) попыток),
- \( p \) — вероятность успеха в одной попытке,
- \( n \) — общее количество попыток,
- \( k \) — количество успехов.
В нашем случае:
- \( n = 6 \) (число бросков),
- \( k = 4 \) (количество раз, когда выпадает четвёрка),
- \( p = \frac{1}{6} \) (вероятность того, что при броске выпадает четвёрка),
- \( 1 - p = \frac{5}{6} \) (вероятность того, что не выпадает четвёрка).
Теперь подставим значения в формулу:
- Вычислим количество сочетаний \( C(6, 4) \):
\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6 - 4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
- Теперь подставим все значения в формулу для вероятности:
\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{6 - 4} \] \[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 \] \[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} \] \[ P(X = 4) = 15 \cdot \frac{25}{46656} = \frac{375}{46656} \]
Теперь вычислим окончательный результат:
\[ \frac{375}{46656} \approx 0.008036 \]
Округляем до десятитысячных:
Ответ: 0.0080.
Таким образом, вероятность того, что четвёрка выпадет ровно четыре раза при бросании кости шесть раз, составляет примерно 0.0080.
