Произведение двух последовательных натуральных чисел на 131 больше их суммы. Найдите меньшее из этих чисел.

Давайте обозначим два последовательных натуральных числа как \( n \) и \( n + 1 \).

Согласно условию, произведение этих чисел на 131 больше их суммы. Запишем это уравнение:

\[ n(n + 1) = n + (n + 1) + 131 \]

Упростим правую часть уравнения:

\[ n(n + 1) = 2n + 1 + 131 \]

\[ n(n + 1) = 2n + 132 \]

Теперь перенесем все элементы в одну сторону уравнения:

\[ n^2 + n - 2n - 132 = 0 \]

Соберем подобные:

\[ n^2 - n - 132 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Напомним, что дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -132 \):

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-132) = 1 + 528 = 529 \]

Теперь найдем корни уравнения. Корни находятся по формуле:

\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{529}}{2 \cdot 1} \] \[ \sqrt{529} = 23 \]

Теперь вычислим корни:

\[ n = \frac{1 + 23}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ n = \frac{1 - 23}{2} = \frac{-22}{2} = -11 \]

Поскольку мы ищем натуральные числа, нас интересует только положительное решение \( n = 12 \).

Таким образом, меньшее из двух последовательных натуральных чисел — это 12.