Запись числа 135 135 в системе счисления с основанием q q содержит 3 3 цифры и оканчивается на 7 7 . Чему равно максимально возможное основание системы счисления?

Чтобы определить максимально возможное основание системы счисления \( q \), в которой число \( 135 \) записывается с тремя цифрами и заканчивается на цифру \( 7 \), нужно сначала понять общее правило для записей в системах счисления.

1. Количество цифр: Если число имеет 3 цифры в системе счисления с основанием \( q \), то оно должно находиться в диапазоне от \( 0 \) до \( q^3 - 1 \). Таким образом, число \( 135 \) должно удовлетворять неравенству:

   \[ 0 \leq 135 < q^3 \]

   Это позволяет нам определить минимальное значение \( q \):

   \[ q^3 > 135 \implies q > 5.13 \]

   Так как основание \( q \) должно быть целым числом, то минимально возможное значение \( q \) будет \( 6 \).

2. Окончание на 7: В системе счисления с основанием \( q \) последняя цифра числа соответствует остатку от деления этого числа на \( q \). Поскольку число должно заканчиваться на \( 7 \), то:

   \[ 135 \mod q = 7 \]

   Это можно переформулировать как:

   \[ 135 - 7 = 128 \quad \text{должно быть делимо на } q. \]

   То есть:

   \[ 128 \mod q = 0. \]

3. Делители числа 128: Теперь рассмотрим делители числа \( 128 \). Они равны \( 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 \). Из этих делителей, более крупные значения могут быть использованы как основания систем счисления, но должны быть выше, чем \( 7 \) для соответствия условию:

   • Проверяем делители:
     • \( 8 \) (подходит и соответствует условию),
     • \( 16 \) (также подходит),
     • \( 32 \) (принимается),
     • \( 64 \) (принимается),
     • \( 128 \) (также подходит).

4. Максимально возможное основание: Из всех подходящих значений, максимальным основанием является \( 128 \).

Таким образом, максимально возможное основание системы счисления \( q \), в которой число \( 135 \) содержит 3 цифры и заканчивается на \( 7 \), равно \( 128 \).