1. Тема Решение простейщих тригонометрических уравнений Решите уравнение (1-11) 6. 1) cos 2x = 1/2 2) sin 4x = 0 3) tg 3x = 1 4) tg 4x = 3 7. 1) sin(- t/4) = - (sqrt(2))/2 2) cos(t/5) = - (sqrt(2))/2 3) tan(- x/3) = 1/(sqrt(3)) 4) ctg=1. 8. 1) sin 2x = (sqrt(2))/2 2) cos(x/3) = - 1/2 3) sin(x/4) = 1/2 4) cos 4x = 0 9. 1) sin(- x/3) = (sqrt(2))/2 2) cos(- 2x) = - (sqrt(3))/2 3) tan(- 4x) = 1/(sqrt(3)) =1. 10 . 1) 3) 2sin(3x - pi/4) = - sqrt(2) 11 . 1) cos(pi/6 - 2x) = - 1 4) sin(x/2 - pi/6) + 1 = 0 . 3) 2sin(pi/3 - x/4) = sqrt(3) 4) 2cos(pi/4 - 3x) = sqrt(2) 2cos(x/2 - pi/6) = sqrt(3) sqrt(3) * tan(x/3 + pi/6) = 3 tan(pi/4 - x/2) = - 1

Конечно, давайте решим предложенные тригонометрические уравнения по порядку.

Уравнение 6

1. cos(2x) = 1/2
   Решение: Угол, для которого косинус равен 1/2, — это 60° или π/3 (в радианах). Период косинуса — 2π, следовательно:
   \( 2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \) и \( 2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
   Где \( k \) — любое целое число.
   Решаем:
   \( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \)

2. sin(4x) = 0
   Решение: Синус равен нулю при kπ, следовательно:
   \( 4x = k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{k\pi}{4} \)

3. tg(3x) = 1
   Решение: Тангенс равен 1 при 45° или π/4, а период тангенса — π, следовательно:
   \( 3x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3} \)

4. tg(4x) = 3
   Решение: Здесь можем использовать арктангенс.
   \( 4x = \arctan(3) + k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{\arctan(3)}{4} + \frac{k\pi}{4} \)

Уравнение 7

1. sin(-t/4) = -√2/2
   Решение: Синус отрицательного угла равен отрицательному синусу положительного.
   Следовательно, мы можем написать:
   \( \sin(t/4) = \sqrt{2}/2 \)
   Угол, при котором синус равен √2/2, составляет 45° или π/4:
   \( t/4 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) и \( t/4 = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
   Решаем:
   \( t = \pi + 8k\pi \) и \( t = 3\pi + 8k\pi \)

2. cos(t/5) = -√2/2
   Угол, для которого косинус равен -√2/2, составляет 135° или 3π/4:
   \( t/5 = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \) и \( t/5 = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
   Решаем:
   \( t = \frac{15\pi}{4} + 10k\pi \) и \( t = -\frac{15\pi}{4} + 10k\pi \)

3. tan(-x/3) = 1/√3
   Теперь как и прежде, вспомним, что тангенс отрицательного угла равен отрицательному тангенсу положительного.
   Следовательно,
   \( \tan(x/3) = -1/\sqrt{3} \)
   Угол, для которого тангенс равен -1/√3, составляет 150° или 5π/6:
   \( x/3 = \frac{5\pi}{6} + k\pi \) и \( x/3 = -\frac{\pi}{6} + k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{15\pi}{2} + 3k\pi \) и \( x = -\frac{3\pi}{2} + 3k\pi \)

4. ctg = 1
   Котангенс равен 1, когда угол равен 45° или π/4:
   \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)

Уравнение 8

1. sin(2x) = √2/2
   Решение: Угол, при котором синус равен √2/2, составляет 45° или π/4:
   \( 2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) и \( 2x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{\pi}{8} + k\pi \) и \( x = \frac{3\pi}{8} + k\pi \)

2. cos(x/3) = -1/2
   Косинус равен -1/2 при 120° или 2π/3:
   \( x/3 = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) и \( x/3 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \)
   Решаем:
   \( x = 2\pi + 6k\pi \) и \( x = 4\pi + 6k\pi \)

3. sin(x/4) = 1/2
   Синус равен 1/2 при 30° или π/6:
   \( x/4 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \) и \( x/4 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{2\pi}{3} + 8k\pi \) и \( x = \frac{10\pi}{3} + 8k\pi \)

4. cos(4x) = 0
   Косинус равен 0 при 90° или π/2:
   \( 4x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} \)

Уравнение 9

1. sin(-x/3) = √2/2
   Аналогично, мы можем написать:
   \( \sin(x/3) = \sqrt{2}/2 \)
   \( x/3 = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \) и \( x/3 = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{3\pi}{4} + 6k\pi \) и \( x = \frac{9\pi}{4} + 6k\pi \)

2. cos(-2x) = -√3/2
   Здесь:
   \( \cos(2x) = -\sqrt{3}/2 \)
   \( 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \) и \( 2x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \) и \( x = \frac{7\pi}{12} + k\pi \)

3. tan(-4x) = 1/√3
   Принимаем, что \( \tan(4x) = -1/\sqrt{3} \):
   \( 4x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \) и \( 4x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \)
   Решаем:
   \( x = \frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{4} \) и \( x = -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{4} \)

4. =1.
   Здесь можем использовать \( \tan(α) = 1 \), тогда
   \( x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)

Уравнение 10

1. 2sin(3x - π/4) = -√2
   Решаем:
   \( sin(3x - π/4) = -\frac{√2}{2} \)
   Тогда:
   \( 3x - π/4 = 7π/4 + 2kπ \) или \( 3x - π/4 = 5π/4 + 2kπ \)
   Решаем:
   \( 3x = 2π + 2kπ \) и \( 3x = 6π + 2kπ\)
   \( x = \frac{2π + 2kπ}{3} \) и \( x = \frac{6π + 2kπ}{3} \)

Уравнение 11

1. cos(π/6 - 2x) = -1
   Косинус равен -1 при угле π, следовательно:
   \( \frac{\pi}{6} - 2x = π + 2kπ \)
   Решаем:
   \( -2x = \frac{5π}{6} + 2kπ \)
   \( x = -\frac{5π}{12} + kπ \)

2. sin(x/2 - π/6) + 1 = 0
   Решаем:
   \( sin(x/2 - π/6) = -1 \)
   Угол, при котором синус равен -1 — это 270° или 3π/2:
   \( x/2 - π/6 = \frac{3π}{2} + 2kπ \)
   Решаем:
   \( x/2 = 3π/2 + π/6 + 2kπ \)
   \( x = 3π + π/3 + 4kπ \)

3. 2sin(π/3 - x/4) = √3
   Решаем:
   \( sin(π/3 - x/4) = \frac{√3}{2} \)
   Значит:
   \( π/3 - x/4 = \frac{π}{3} + 2kπ \) или \( π/3 - x/4 = \frac{2π}{3} + 2kπ \)
   Решаем:
   \( -x/4 = 2k\pi \) и \( -x/4 = \frac{π}{3} + 2kπ \)

4. 2cos(π/4 - 3x) = √2
   Решаем аналогично:
   \( cos(π/4 - 3x) = \frac{√2}{2} \)
   Тогда:
   \( π/4 - 3x = 2kπ ± π/4 \)

Уравнение 12

1. 2cos(x/2 - π/6) = √3
   Здесь:
   \( cos(x/2 - π/6) = \frac{√3}{2} \)
   Углы, при которых косинус равен √3/2:
   \( x/2 - π/6 = \frac{\pi}{6} + 2kπ \) и \( x/2 - π/6 = -\frac{\pi}{6} + 2kπ \)
   Решаем:
   \( x/2 = \frac{2π}{6} + 2kπ \) и \( x/2 = 0 + 2kπ \)
   \( x = \frac{4π}{3} + 4kπ \) и \( x = 0 + 4kπ \)

Эти шаги помогут вам успешно решать предложенные тригонометрические уравнения. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется объяснение других тем, не стесняйтесь обращаться!