Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что знаем о сходственных треугольниках и их площадях.
Если треугольники ABC и MNK подобны, то отношения их площадей равны квадрату отношения их сходственных сторон. У нас есть отношение сходственных сторон, которое равно 8:5. Это значит, что:
[
\frac{S_{ABC}}{S_{MNK}} = \left(\frac{8}{5}\right)^2 = \frac{64}{25}
]
Обозначим площади треугольников ABC и MNK как ( S_{ABC} ) и ( S_{MNK} ) соответственно. Мы знаем, что площадь треугольника ABC больше площади треугольника MNK на 25 кв. см:
[
S_{ABC} = S_{MNK} + 25
]
Теперь давайте выразим площади через одну переменную. Обозначим ( S_{MNK} ) как ( S ). Тогда:
[
S_{ABC} = S + 25
]
Теперь подставим это выражение в отношение площадей:
[
\frac{S + 25}{S} = \frac{64}{25}
]
Перемножим крест-накрест для упрощения уравнения:
[
25(S + 25) = 64S
]
Раскроем скобки:
[
25S + 625 = 64S
]
Теперь перенесем все ( S ) на одну сторону:
[
625 = 64S - 25S
]
[
625 = 39S
]
Теперь найдем ( S ):
[
S = \frac{625}{39} \approx 16.03 \text{ кв. см}
]
Теперь можем найти площадь треугольника ABC:
[
S_{ABC} = S + 25 = \frac{625}{39} + 25 = \frac{625 + 975}{39} = \frac{1600}{39} \approx 41.03 \text{ кв. см}
]
Итак, площади треугольников:
[
S_{MNK} \approx 16.03 \text{ кв. см}
]
[
S_{ABC} \approx 41.03 \text{ кв. см}
]
Чтобы подытожить: площадь треугольника MNK составляет примерно 16.03 кв. см, а площадь треугольника ABC около 41.03 кв. см.
