Найди наименьшее значение функции x^5+15x^3-64 на отрезке [-4;3]
Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = x^5 + 15x^3 - 64 \) на отрезке \([-4; 3]\), необходимо выполнить несколько шагов.
Найдём производную функции: Производная \( f'(x) \) поможет нам найти критические точки, где функция может иметь минимальные или максимальные значения. \[ f'(x) = 5x^4 + 45x^2 \]
Найдем точки, где производная равна нулю: Установим уравнение: \[ 5x^4 + 45x^2 = 0 \] Вынесем общий фактор: \[ 5x^2(x^2 + 9) = 0 \] Это уравнение имеет решение: \[ x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Второй множитель \( x^2 + 9 = 0 \) не имеет действительных корней.
Теперь проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка: Рассмотрим значения функции \( f(x) \) в точках \( x = -4, 0, 3 \).
Для \( x = -4 \): \[ f(-4) = (-4)^5 + 15(-4)^3 - 64 = -1024 - 960 - 64 = -2048 \]
Для \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^5 + 15 \cdot 0^3 - 64 = -64 \]
Для \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^5 + 15 \cdot 3^3 - 64 = 243 + 405 - 64 = 584 \]
Сравним полученные значения:
- \( f(-4) = -2048 \)
- \( f(0) = -64 \)
- \( f(3) = 584 \)
Наименьшее значение функции \( f(x) \) на отрезке \([-4;3]\) равно \(-2048\) и достигается в точке \( x = -4 \).
