Около треугольника со сторонами 3 см и 5 см описана окружность, радиус которой относится к третьей стороне как 1: корень 3. Какой длины может быть периметр этого треугольника?

Обозначим длину третьей стороны треугольника как \( a \). У нас есть две стороны: \( b = 3 \, \text{см} \) и \( c = 5 \, \text{см} \).

Согласно условию, радиус описанной окружности \( R \) относительно третьей стороны \( a \) равен:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \( S \) — площадь треугольника.

Также по условиям задачи у нас:

\[ R : a = 1 : \sqrt{3} \implies R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Теперь подставим это значение в формулу для радиуса:

\[ \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 5 \cdot a}{4S} \]

Упрощаем:

\[ \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{15a}{4S} \]

При условии \( a \neq 0 \) можно сократить \( a \):

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{15}{4S} \]

Переписываем уравнение для нахождения площади \( S \):

\[ 4S = 15\sqrt{3} \implies S = \frac{15\sqrt{3}}{4} \]

Теперь мы можем воспользоваться формулой Герона для нахождения периметра треугольника. Периметр \( P \) равен:

\[ P = a + b + c = a + 3 + 5 = a + 8 \]

Мы знаем, что площадь треугольника можно также выразить через стороны и полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{a + 8}{2} \]

Площадь рассчитывается также по формуле Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

Теперь подставим известные значения:

\[ p - a = \frac{a + 8}{2} - a = \frac{8 - a}{2}, \quad p - b = \frac{a + 8}{2} - 3 = \frac{a + 2}{2}, \quad p - c = \frac{a + 8}{2} - 5 = \frac{a - 2}{2} \]

Тогда:

\[ S = \sqrt{\frac{a + 8}{2} \cdot \frac{8 - a}{2} \cdot \frac{a + 2}{2} \cdot \frac{a - 2}{2}} \]

Уравняем обе формулы для площади:

\[ \frac{15\sqrt{3}}{4} = \sqrt{\frac{(a + 8)(8 - a)(a + 2)(a - 2)}{16}} \]

Упрощаем:

\[ \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{4} \sqrt{(a + 8)(8 - a)(a^2 - 4)} \]

Умножая обe части на 4:

\[ 15\sqrt{3} = \sqrt{(a + 8)(8 - a)(a^2 - 4)} \]

Квадрат обеих сторон:

\[ 675 = (a + 8)(8 - a)(a^2 - 4) \]

Это может быть достаточно сложно решать в общем виде, поэтому необходимо подбирать значения \( a \) в реалистичном диапазоне (от 2 до 8, чтобы треугольник существовал).

Возможные значения периметра \( P = a + 8 \) будут разнообразными в зависимости от найденного \( a \).

После подбора:

При \( a = 6 \):

\[ P = 6 + 3 + 5 = 14 \]

При \( a = 4 \):

\[ P = 4 + 3 + 5 = 12 \]

Таким образом, возможный периметр треугольника:

\[ \boxed{12 \text{ см} \text{ или } 14 \text{ см}}. \]