Около окружности описан правильный треугольник со стороной 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Чтобы найти сторону квадрата, вписанного в окружность, в которой описан правильный треугольник, следуем следующим шагам.

1. Найдём радиус окружности. Для правильного треугольника радиус описанной окружности \( R \) вычисляется по формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] где \( a \) — длина стороны треугольника. Подставим значение стороны треугольника: \[ R = \frac{18 \, \text{см}}{\sqrt{3}} = \frac{18 \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \, \text{см} \]

2. Найдём сторону квадрата, вписанного в окружность. Для квадрата, вписанного в круг, сторона квадрата \( s \) связана с радиусом окружности следующим образом: \[ s = R \sqrt{2} \] Подставим найденное значение радиуса: \[ s = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{6} \, \text{см} \]

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в окружность, равна \( 6\sqrt{6} \, \text{см} \).