1. Неподвижный вагон массой 2 • 10* кг сцепляется с платформой массои 3 103 кг. До сцепки платформа имела скорость 1 м/с. Чему равна скорость вагона и платформы после их сцепки? 2. На плот массой 100 кг, имеющий скорость 1 м/с, направленную вдоль берега, прыгает человек массой 50 кг со скоростью 1,5 м/с перпендикулярно берегу. Определите скорость плота с прыгнувшим на него человеком.

1. Для решения первой задачи можно использовать закон сохранения импульса. Запишем формулу для импульса до сцепки и после:

Импульс системы до сцепки: \[ p_{до} = m_{вагона} \cdot v_{вагона} + m_{платформы} \cdot v_{платформы} \] где \(m_{вагона} = 2 \cdot 10^3 \text{ кг}\), \(v_{вагона} = 0 \text{ м/с}\) (вагон неподвижен), \(m_{платформы} = 3 \cdot 10^3 \text{ кг}\), \(v_{платформы} = 1 \text{ м/с}\).

Подставим значения: \[ p_{до} = 2 \cdot 10^3 \cdot 0 + 3 \cdot 10^3 \cdot 1 = 3 \cdot 10^3 \text{ кг м/с}. \]

Импульс системы после сцепки можно записать как: \[ p_{после} = (m_{вагона} + m_{платформы}) \cdot v_{общая}. \]

По закону сохранения импульса: \(p_{до} = p_{после}\). То есть: \[ 3 \cdot 10^3 = (2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^3) \cdot v_{общая}. \]

Теперь упростим: \[ 3 \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^3 \cdot v_{общая} \\ v_{общая} = \frac{3 \cdot 10^3}{5 \cdot 10^3} = \frac{3}{5} \text{ м/с} = 0,6 \text{ м/с}. \]

Таким образом, скорость вагона и платформы после сцепки равна 0,6 м/с.

2. Для решения второй задачи также используем закон сохранения импульса. Определим импульсы в направлении вдоль берега и перпендикулярно к нему.

Импульс до прыжка: Вдоль берега: \[ p_{до, вдоль} = m_{плота} \cdot v_{плота} = 100 \cdot 1 = 100 \text{ кг м/с}. \] Перпендикулярно бережку: \[ p_{до, перпендикулярно} = 0 \text{ кг м/с} \text{ (так как плота не движется перпендикулярно)}. \]

Импульс прыгающего человека: Вдоль берега: \[ p_{человека, вдоль} = 0 \text{ кг м/с} \text{ (он прыгает перпендикулярно)}. \] Перпендикулярно: \[ p_{человека, перпендикулярно} = m_{человека} \cdot v_{человека} = 50 \cdot 1.5 = 75 \text{ кг м/с}. \]

Теперь найдем общей импульс системы после прыжка:

Импульс вдоль берега после: \[ p_{после, вдоль} = p_{до, вдоль} + p_{человека, вдоль} = 100 + 0 = 100 \text{ кг м/с}. \]

Импульс перпендикулярно: \[ p_{после, перпендикулярно} = p_{до, перпендикулярно} + p_{человека, перпендикулярно} = 0 + 75 = 75 \text{ кг м/с}. \]

Теперь можем найти скорости после прыжка. Обозначим \(v_{плота, после}\) как скорость плота после прыжка.

Скорость вдоль берега: \[ m_{плота} \cdot v_{плота, после} = 100 \\ 100 \cdot v_{плота, после} = 100 \implies v_{плота, после} = 1 \text{ м/с}. \]

И скорость перпендикулярно: \[ (m_{плота} + m_{человека}) \cdot v_{плота, после, перпендикулярно} = 75. \] Общий вес: \[ 100 + 50 = 150 \text{ кг} \\ 150 \cdot v_{перпендикулярно} = 75 \\ v_{перпендикулярно} = \frac{75}{150} = 0.5 \text{ м/с}. \]

Теперь можем определить общую скорость плота с человеком, используя теорему Пифагора: \[ v_{общая} = \sqrt{(v_{вдоль})^2 + (v_{перпендикулярно})^2} = \sqrt{1^2 + 0.5^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} \approx 1.12 \text{ м/с}. \]

Таким образом, скорость плота с прыгнувшим на него человеком составляет approximately 1.12 м/с.