Найдите вероятность того, что случайно выбранное натуральное число n , удовлетворяющее условию 514 ≤ n ≤ 634 делится на 41 .
Для решения задачи необходимо сначала определить все натуральные числа \( n \) в диапазоне от 514 до 634 и узнать, сколько из них делится на 41.
- Найдем наименьшее число в этом диапазоне, которое делится на 41. Для этого мы можем разделить 514 на 41 и округлить вверх до ближайшего целого числа:
\[ \lceil \frac{514}{41} \rceil = \lceil 12.53 \rceil = 13. \]
Следовательно, наименьшее число в диапазоне, делящееся на 41:
\[ 41 \times 13 = 533. \]
- Теперь найдем наибольшее число в этом диапазоне, которое делится на 41, разделив 634 на 41 и округлив вниз до ближайшего целого числа:
\[ \lfloor \frac{634}{41} \rfloor = \lfloor 15.46 \rfloor = 15. \]
Следовательно, наибольшее число в диапазоне, делящееся на 41:
\[ 41 \times 15 = 615. \]
- Теперь у нас есть два числа: 533 и 615. Чтобы узнать, сколько натуральных чисел в диапазоне от 514 до 634 делится на 41, мы определим последовательность чисел с шагом 41, начиная с 533 и заканчивая 615.
Эта последовательность выглядит так:
- 533,
- 574,
Можно выразить количество членов этой последовательности с помощью формулы для определения количества членов арифметической прогрессии:
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d, \] где \( a_1 = 533 \), \( d = 41 \), \( a_n = 615 \).
Решим уравнение: \[ 615 = 533 + (n-1) \cdot 41. \]
Вычтем 533 из обеих сторон: \[ 615 - 533 = (n-1) \cdot 41, \] \[ 82 = (n-1) \cdot 41. \]
Теперь разделим обе стороны на 41: \[ n-1 = \frac{82}{41} = 2. \] Следовательно, \[ n = 3. \]
Итак, в диапазоне от 514 до 634 есть 3 числа, которые делятся на 41: 533, 574 и 615.
- Общее количество натуральных чисел от 514 до 634 включительно:
\[ 634 - 514 + 1 = 121. \]
- Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранное число \( n \) делится на 41:
\[ P = \frac{\text{Количество чисел, делящихся на 41}}{\text{Общее количество чисел}} = \frac{3}{121}. \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число \( n \), удовлетворяющее условию \( 514 \leq n \leq 634 \), делится на 41, равна:
\[ \frac{3}{121}. \]
