Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 1…

Для решения данной задачи давайте рассмотрим событие, когда сообщение успешно передается в течение двух попыток.

Вероятность успешной передачи сообщения в одной попытке равна \( p = \frac{1}{9} \). Следовательно, вероятность неудачи в одной попытке равна \( q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \).

Теперь рассмотрим два случая, при которых сообщение может быть успешно передано не более чем за две попытки:

1. Успех в первой попытке: Вероятность этого события равна \( p = \frac{1}{9} \).

2. Успех во второй попытке: Для этого необходимо, чтобы первая попытка закончилась неудачно, а вторая – успешной. Вероятность неудачи в первой попытке равна \( q = \frac{8}{9} \), а успешной передачи во второй попытке равна \( p = \frac{1}{9} \). Таким образом, вероятность успеха во второй попытке: \[ P(\text{Успех во 2-й попытке}) = q \cdot p = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{9} = \frac{8}{81}. \]

Теперь сложим вероятности успешной передачи сообщения за одну и две попытки: \[ P(\text{Не больше 2 попыток}) = P(\text{Успех в 1-й попытке}) + P(\text{Успех во 2-й попытке}) = \frac{1}{9} + \frac{8}{81}. \]

Для сложения этих дробей нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель 81: \[ \frac{1}{9} = \frac{9}{81}. \] Теперь складываем: \[ P(\text{Не больше 2 попыток}) = \frac{9}{81} + \frac{8}{81} = \frac{17}{81}. \]

Таким образом, вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток, равна \(\frac{17}{81}\).