Насос A и насос B, работая вместе, могут заполнить бассейн за 9 минут, а насос B и C — за 14 минут. Если вместе будут работать насосы A и C, то бассейн заполнится за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Question 1

Задача Задача №2533541

А

Аноним

18 декабря 2024 15:31 · публичный вопрос

А

Аноним 18 декабря 2024 15:31

Насос A и насос B, работая вместе, могут заполнить бассейн за 9 минут, а насос B и C — за 14 минут. Если вместе будут работать насосы A и C, то бассейн заполнится за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Answer

Для решения этой задачи давайте сначала определим производительности каждого насоса.

Рассмотрим насос A и насос B. Они могут заполнить бассейн за 9 минут. Это означает, что их совместная производительность составляет: \[ R_{AB} = \frac{1}{9} \text{ бассейна в минуту.} \]
Теперь посмотрим на насосы B и C, которые заполняют бассейн за 14 минут: \[ R_{BC} = \frac{1}{14} \text{ бассейна в минуту.} \]
Наконец, насосы A и C совместно заполняют бассейн за 18 минут: \[ R_{AC} = \frac{1}{18} \text{ бассейна в минуту.} \]

Далее, давайте обозначим производительность насосов A, B и C как \(R_A\), \(R_B\) и \(R_C\) соответственно. Таким образом, мы имеем три уравнения:

\[ R_A + R_B = \frac{1}{9} \tag{1} \] \[ R_B + R_C = \frac{1}{14} \tag{2} \] \[ R_A + R_C = \frac{1}{18} \tag{3} \]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений.

Сначала выразим \(R_B\) из уравнения (1): \[ R_B = \frac{1}{9} - R_A \tag{4} \]

Подставим (4) в уравнение (2): \[ \left(\frac{1}{9} - R_A\right) + R_C = \frac{1}{14} \] \[ R_C = \frac{1}{14} - \frac{1}{9} + R_A \]

Чтобы выполнить вычитание, найдём общий знаменатель для дробей \(\frac{1}{14}\) и \(\frac{1}{9}\): \[ \frac{1}{14} = \frac{9}{126}, \quad \frac{1}{9} = \frac{14}{126} \] Итак, \[ R_C = R_A - \frac{14 - 9}{126} = R_A - \frac{5}{126} = R_A - \frac{5}{126} \tag{5} \]

Теперь подставим (4) и (5) в уравнение (3): \[ R_A + \left(R_A - \frac{5}{126}\right) = \frac{1}{18} \] \[ 2R_A - \frac{5}{126} = \frac{1}{18} \] Чтобы решить это уравнение, выразим \(R_A\): \[ 2R_A = \frac{1}{18} + \frac{5}{126} \] Согласуем дроби: \[ \frac{1}{18} = \frac{7}{126} \] Тогда \[ 2R_A = \frac{7 + 5}{126} = \frac{12}{126} = \frac{2}{21} \] Таким образом, \[ R_A = \frac{1}{21}. \]

Теперь найдем \(R_B\) и \(R_C\) подставляя \(R_A\) обратно в уравнения (4) и (5): \[ R_B = \frac{1}{9} - \frac{1}{21} = \frac{7 - 3}{63} = \frac{4}{63}, \] \[ R_C = R_A - \frac{5}{126} = \frac{1}{21} - \frac{5}{126} = \frac{6 - 5}{126} = \frac{1}{126}. \]

Теперь, чтобы найти общую производительность всех трех насосов, нужно сложить их производительности: \[ R_{ABC} = R_A + R_B + R_C = \frac{1}{21} + \frac{4}{63} + \frac{1}{126}. \]

Общий знаменатель здесь — 126: \[ R_{ABC} = \frac{6}{126} + \frac{8}{126} + \frac{1}{126} = \frac{15}{126} = \frac{5}{42}. \]

Таким образом, время, необходимое для заполнения бассейна всеми тремя насосами вместе: \[ T_{ABC} = \frac{1}{R_{ABC}} = \frac{42}{5} = 8.4 \text{ минут.} \]

Итак, насосы A, B и C, работая вместе, заполнят бассейн за 8.4 минуты.

Question 2

Насос A и насос B, работая вместе, могут заполнить бассейн за 9 минут, а насос B и C — за 14 минут. Если вместе будут работать насосы A и C, то бассейн заполнится за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Answer

Для решения этой задачи давайте сначала определим производительности каждого насоса. 1. Рассмотрим насос A и насос B. Они могут заполнить бассейн за 9 минут. Это означает, что их совместная производительность составляет: \[ R_{AB} = \frac{1}{9} \text{ бассейна в минуту.} \] 2. Теперь посмотрим на насосы B и C, которые заполняют бассейн за 14 минут: \[ R_{BC} = \frac{1}{14} \text{ бассейна в минуту.} \] 3. Наконец, насосы A и C совместно заполняют бассейн за 18 минут: \[ R_{AC} = \frac{1}{18} \text{ бассейна в минуту.} \] Далее, давайте обозначим производительность насосов A, B и C как \(R_A\), \(R_B\) и \(R_C\) соответственно. Таким образом, мы имеем три уравнения: \[ R_A + R_B = \frac{1}{9} \tag{1} \] \[ R_B + R_C = \frac{1}{14} \tag{2} \] \[ R_A + R_C = \frac{1}{18} \tag{3} \] Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала выразим \(R_B\) из уравнения (1): \[ R_B = \frac{1}{9} - R_A \tag{4} \] Подставим (4) в уравнение (2): \[ \left(\frac{1}{9} - R_A\right) + R_C = \frac{1}{14} \] \[ R_C = \frac{1}{14} - \frac{1}{9} + R_A \] Чтобы выполнить вычитание, найдём общий знаменатель для дробей \(\frac{1}{14}\) и \(\frac{1}{9}\): \[ \frac{1}{14} = \frac{9}{126}, \quad \frac{1}{9} = \frac{14}{126} \] Итак, \[ R_C = R_A - \frac{14 - 9}{126} = R_A - \frac{5}{126} = R_A - \frac{5}{126} \tag{5} \] Теперь подставим (4) и (5) в уравнение (3): \[ R_A + \left(R_A - \frac{5}{126}\right) = \frac{1}{18} \] \[ 2R_A - \frac{5}{126} = \frac{1}{18} \] Чтобы решить это уравнение, выразим \(R_A\): \[ 2R_A = \frac{1}{18} + \frac{5}{126} \] Согласуем дроби: \[ \frac{1}{18} = \frac{7}{126} \] Тогда \[ 2R_A = \frac{7 + 5}{126} = \frac{12}{126} = \frac{2}{21} \] Таким образом, \[ R_A = \frac{1}{21}. \] Теперь найдем \(R_B\) и \(R_C\) подставляя \(R_A\) обратно в уравнения (4) и (5): \[ R_B = \frac{1}{9} - \frac{1}{21} = \frac{7 - 3}{63} = \frac{4}{63}, \] \[ R_C = R_A - \frac{5}{126} = \frac{1}{21} - \frac{5}{126} = \frac{6 - 5}{126} = \frac{1}{126}. \] Теперь, чтобы найти общую производительность всех трех насосов, нужно сложить их производительности: \[ R_{ABC} = R_A + R_B + R_C = \frac{1}{21} + \frac{4}{63} + \frac{1}{126}. \] Общий знаменатель здесь — 126: \[ R_{ABC} = \frac{6}{126} + \frac{8}{126} + \frac{1}{126} = \frac{15}{126} = \frac{5}{42}. \] Таким образом, время, необходимое для заполнения бассейна всеми тремя насосами вместе: \[ T_{ABC} = \frac{1}{R_{ABC}} = \frac{42}{5} = 8.4 \text{ минут.} \] Итак, насосы A, B и C, работая вместе, заполнят бассейн за 8.4 минуты.