Решите уравнение cos^3x+ 3 cos^2 x-cos x -3=0
Для решения уравнения \( \cos^3 x + 3 \cos^2 x - \cos x - 3 = 0 \), давайте введем замену: обозначим \( y = \cos x \). Тогда уравнение примет следующий вид:
\[ y^3 + 3y^2 - y - 3 = 0. \]
Теперь необходимо решить кубическое уравнение. Для этого воспользуемся методом подбора, чтобы найти один из корней. Подберем возможные значения \( y \):
- Проверим \( y = 1 \): \[ 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0. \] Значит, \( y = 1 \) является корнем уравнения.
Теперь мы можем разложить многочлен \( y^3 + 3y^2 - y - 3 \) на множители, используя найденный корень:
\[ y^3 + 3y^2 - y - 3 = (y - 1)(Ay^2 + By + C). \]
Для нахождения коэффициентов \( A, B, C \) можем воспользоваться делением многочленов или методом подбора. В данном случае, при делении, получаем:
\[ y^3 + 3y^2 - y - 3 = (y - 1)(y^2 + 4y + 3). \]
Теперь мы можем упростить уравнение:
\[ y^2 + 4y + 3 = 0. \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = B^2 - 4AC = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4. \]
Так как дискриминант положительный, у нас два корня:
\[ y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-4 \pm 2}{2}. \]
Таким образом, получаем:
- \( y_1 = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \)
- \( y_2 = \frac{-4 - 2}{2} = -3 \)
Теперь нам нужно рассмотреть найденные корни:
\( y = 1 \) соответствует \( \cos x = 1 \): \[ x = 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z}. \]
\( y = -1 \) соответствует \( \cos x = -1 \): \[ x = (2k + 1)\pi, \, k \in \mathbb{Z}. \]
\( y = -3 \) не является допустимым значением для косинуса, так как \( \cos x \) может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1.
Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[ x = 2k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \quad \text{и} \quad x = (2k + 1)\pi, \, k \in \mathbb{Z}. \]
