Изогнутая жёсткая трубка укреплена на платформе, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). Правый конец трубки горизонтален и находится на расстоянии h1 = 30 см от стола. В трубке на расстоянии h2 от стола удерживают шарик, который может скользить по трубке без трения. Масса платформы с трубкой в 9 раз больше массы шарика. Все тела покоятся. Шарик отпускают. В результате платформа начинает двигаться поступательно, не отрываясь от стола. Определите высоту h2, если шарик вылетает из трубки со скоростью 3 м/с относительно стола.
Для решения этой задачи нам нужно применить закон сохранения импульса и уравнение движения.
Параметры задачи:
- Масса платформы с трубкой: \( M = 9m \) (где \( m \) — масса шарика)
- Скорость шарика при выходе из трубки: \( v_{ш} = 3 \, \text{м/с} \)
- Начальное положение шарика в трубке: на высоте \( h_2 \)
Сохранение импульса: Перед тем как шарик выходит из трубки, вся система покоится, поэтому суммарный импульс равен нулю. Когда шарик вылетает, платформа начинает двигаться в другую сторону, и, согласно закону сохранения импульса, мы можем записать:
\[ 0 = m v_{ш} - M v_{п} \]
где \( v_{п} \) — скорость платформы после того, как шарик покинет трубку. Подставим значения:
\[ 0 = m \cdot 3 - 9m \cdot v_{п} \]
Упрощая уравнение:
\[ 3m = 9m \cdot v_{п} \quad \Rightarrow \quad v_{п} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \, \text{м/с} \]
Энергия и высота: Теперь рассмотрим изменение энергии в системе. Когда шарик вылетает, он теряет потенциальную энергию, которая преобразуется в кинетическую энергию, как свою, так и платформы. Потенциальная энергия шарика на высоте \( h_2 \):
\[ E_{пот} = m g h_2 \]
Кинетическая энергия шарика при выходе из трубки:
\[ E_{к. ш.} = \frac{1}{2} m v_{ш}^2 = \frac{1}{2} m (3)^2 = \frac{9}{2} m \]
Кинетическая энергия платформы:
\[ E_{к. п.} = \frac{1}{2} M v_{п}^2 = \frac{1}{2} \cdot 9m \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot 9m \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{2} m \]
Суммируем энергии: С учетом законов сохранения энергии получаем:
\[ mgh_2 = \frac{9}{2}m + \frac{1}{2}m \]
Упрощая:
\[ m g h_2 = 5m \]
Теперь сократим \( m \) (при \( m \neq 0 \)):
\[ g h_2 = 5 \]
Отсюда можно выразить \( h_2 \):
\[ h_2 = \frac{5}{g} \]
Подставляя \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \):
\[ h_2 \approx \frac{5}{9.81} \approx 0.51 \, \text{м} \approx 51 \, \text{см} \]
Таким образом, высота \( h_2 \) составляет примерно 51 см.
