Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603 Найдите эти числа, если их разность равна 7.
Пусть \( x \) и \( y \) — два натуральных числа, такие что \( x > y \). По условию задачи у нас есть две системы уравнений:
- \( x^3 - y^3 = 1603 \)
- \( x - y = 7 \)
Сначала мы можем использовать формулу разности кубов:
\[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \]
Подставим \( x - y = 7 \) в это уравнение:
\[ x^3 - y^3 = 7(x^2 + xy + y^2) \]
Теперь подставим это значение в первое уравнение:
\[ 7(x^2 + xy + y^2) = 1603 \]
Теперь разделим обе стороны на 7:
\[ x^2 + xy + y^2 = \frac{1603}{7} = 229 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( x - y = 7 \)
- \( x^2 + xy + y^2 = 229 \)
Из первого уравнения выразим \( x \):
\[ x = y + 7 \]
Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[ (y + 7)^2 + (y + 7)y + y^2 = 229 \]
Раскроем скобки:
\[ (y^2 + 14y + 49) + (y^2 + 7y) + y^2 = 229 \]
Сложим подобные слагаемые:
\[ 3y^2 + 21y + 49 = 229 \]
Переносим 229 влево:
\[ 3y^2 + 21y + 49 - 229 = 0 \]
Это дает нам:
\[ 3y^2 + 21y - 180 = 0 \]
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 21^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-180) \] \[ D = 441 + 2160 = 2601 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-21 \pm 51}{6} \]
Теперь у нас два возможных корня:
- \( y = \frac{30}{6} = 5 \)
- \( y = \frac{-72}{6} = -12 \) (не подходит, так как \( y \) должно быть натуральным числом)
Таким образом, \( y = 5 \).
Теперь можем найти \( x \):
\[ x = y + 7 = 5 + 7 = 12 \]
Таким образом, искомые числа:
\[ x = 12, \quad y = 5 \]
Проверим:
\[ x^3 - y^3 = 12^3 - 5^3 = 1728 - 125 = 1603 \]
Разность:
\[ x - y = 12 - 5 = 7 \]
Все условия задачи выполнены.
Ответ: \( x = 12 \) и \( y = 5 \).
