√2x+18=x+5
Чтобы решить уравнение √(2x + 18) = x + 5, следуйте этим шагам:
Изолируйте квадратный корень. Убедитесь, что квадратный корень находится с одной стороны уравнения: \[ √(2x + 18) = x + 5 \]
Возведите обе стороны в квадрат. Это позволит избавиться от квадратного корня: \[ 2x + 18 = (x + 5)^2 \]
Разложите правую часть уравнения: \[ (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \] Таким образом, уравнение выглядит следующим образом: \[ 2x + 18 = x^2 + 10x + 25 \]
Переносим все термины в одно уравнение, чтобы привести его к стандартному виду: \[ 0 = x^2 + 10x + 25 - 2x - 18 \] Упрощаем: \[ 0 = x^2 + 8x + 7 \]
Решите квадратное уравнение. Для этого можно использовать формулу решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1, b = 8, c = 7 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{36}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 6}{2} \]
Теперь находим два корня:
- Первый корень: \[ x_1 = \frac{-8 + 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
- Второй корень: \[ x_2 = \frac{-8 - 6}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \]
Проверка корней. Подставим значения \( x_1 \) и \( x_2 \) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они являются действительными решениями. Это важный шаг, потому что из-за возведения в квадрат могут появляться дополнительные решения.
Для \( x = -1 \): \[ √(2(-1) + 18) = √(16) = 4 \] \[ -1 + 5 = 4 \quad \text{(верно)} \]
Для \( x = -7 \): \[ √(2(-7) + 18) = √(4) = 2 \] \[ -7 + 5 = -2 \quad \text{(неверно)} \]
Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = -1 \).
