Моторная лодка прошла против течения реки 288 288 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 3 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Для решения этой задачи давайте обозначим скорость моторной лодки в неподвижной воде как \( v \) км/ч. Скорость течения реки равна 4 км/ч.
- Скорость против течения: Когда лодка плывет против течения, ее скорость будет равна \( v - 4 \) км/ч.
- Скорость со течением: Когда лодка возвращается обратно, ее скорость будет равна \( v + 4 \) км/ч.
Мы знаем, что расстояние, пройденное лодкой в обоих направлениях, составляет 288 км.
Время в пути против течения: \[ t_1 = \frac{288}{v - 4} \]
Время в пути по течению: \[ t_2 = \frac{288}{v + 4} \]
По условию задачи время, затраченное на обратный путь (по течению), на 3 часа меньше, чем время, затраченное на путь против течения: \[ t_1 = t_2 + 3 \]
Подставим времена \( t_1 \) и \( t_2 \) в это уравнение: \[ \frac{288}{v - 4} = \frac{288}{v + 4} + 3 \]
Теперь решим это уравнение.
Умножим обе стороны на \( (v - 4)(v + 4) \): \[ 288(v + 4) = 288(v - 4) + 3(v - 4)(v + 4) \]
Раскроем скобки: \[ 288v + 1152 = 288v - 1152 + 3(v^2 - 16) \]
Сократим \( 288v \) с обеих сторон: \[ 1152 = -1152 + 3v^2 - 48 \]
Теперь соберем все в одну сторону: \[ 3v^2 - 48 + 1152 + 1152 = 0 \] \[ 3v^2 + 1156 = 0 \]
Для удобства поделим все на 3: \[ v^2 + \frac{1156}{3} = 0 \]
Однако мы сделали ошибку в расчетах. Вернемся к уравнению: \[ 288(v + 4) - 288(v - 4) = 3(v^2 - 16) \]
анализируя это, получаем, что:
\[ 1152 = 3v^2 - 48 \]
Собираем все на одну сторону: \[ 3v^2 - 48 - 1152 = 0 \] \[ 3v^2 - 1200 = 0 \] \[ v^2 = 400 \] \[ v = 20 \]
Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде составляет \( 20 \) км/ч.
