Дана трапеция MNKLMNKL, у которой MN= 7, NL = 15, ML = 20. Найди площадь данной трапеции, если NK = 8. Запиши ответ числом.
Чтобы найти площадь трапеции, воспользуемся формулой:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где:
- \( a \) и \( b \) — основания трапеции,
- \( h \) — высота.
В данной задаче:
- \( MN = 7 \) (первое основание),
- \( NL = 15 \) (второе основание),
- \( ML = 20 \) и \( NK = 8 \) — это стороны трапеции.
Сначала нам нужно найти высоту \( h \) трапеции. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти высоту.
Обозначим высоту трапеции как \( h \). При прямом проведении высоты из точки N к основанию MN (обозначим точку на MN как H), мы получаем два прямоугольных треугольника: \( MNH \) и \( NHL \).
Для треугольника \( MNH \) имеем:
- \( MN = 7 \),
- \( NH = h \),
- \( MH = ML - NH = 20 - h \).
Для треугольника \( NHE \) (где \( E \) — проекция точки H на основание NL):
- \( HE = NL - MN = 15 - 7 = 8 \).
По теореме Пифагора:
- Для треугольника \( MNH \): \[ MN^2 + NH^2 = NH^2 + (ML - NH)^2 \]
Подставляем значения: \[ 7^2 + h^2 = h^2 + (20 - h)^2 \]
- После упрощения у нас получится уравнение: \[ 49 = (20 - h)^2 \] \[ 49 = 400 - 40h + h^2 \]
Теперь, решая это уравнение, мы получим:
- перенесём все в одну сторону: \[ h^2 - 40h + 351 = 0 \]
Используем дискриминант для решения: \[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 351 = 1600 - 1404 = 196 \]
Корни уравнения: \[ h = \frac{40 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{40 \pm 14}{2} \]
Таким образом:
- \( h_1 = \frac{54}{2} = 27 \)
- \( h_2 = \frac{26}{2} = 13 \)
Мы берём \( h = 13 \) (вопрос о физическом смысле).
Теперь подставляем высоту \( h \) в формулу для площади:
\[ S = \frac{(MN + NL) \cdot h}{2} \] \[ S = \frac{(7 + 15) \cdot 13}{2} \] \[ S = \frac{22 \cdot 13}{2} = \frac{286}{2} = 143 \]
Таким образом, площадь трапеции MNKLM равна 143.
