Найди координаты точек пересечения параболы y = x 2 + 19 x − 48 y=x 2 +19x−48 и прямой y = 9 x + 96 y=9x+96 .
Чтобы найти координаты точек пересечения параболы \(y = x^2 + 19x - 48\) и прямой \(y = 9x + 96\), необходимо приравнять эти два уравнения.
Приравняем уравнения: \[ x^2 + 19x - 48 = 9x + 96. \]
Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ x^2 + 19x - 9x - 48 - 96 = 0, \] что упрощается до: \[ x^2 + 10x - 144 = 0. \]
Теперь используем дискриминант для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144). \] Подсчитаем: \[ D = 100 + 576 = 676. \]
Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два различных корня. Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 26}{2}. \] Это дает нам два значения \(x\): \[ x_1 = \frac{16}{2} = 8 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-36}{2} = -18. \]
Далее подставим найденные значения \(x\) в уравнение прямой \(y = 9x + 96\), чтобы найти соответствующие \(y\).
Для \(x_1 = 8\): \[ y_1 = 9 \cdot 8 + 96 = 72 + 96 = 168. \] Точка пересечения: \((8, 168)\).
Для \(x_2 = -18\): \[ y_2 = 9 \cdot (-18) + 96 = -162 + 96 = -66. \] Точка пересечения: \((-18, -66)\).
Таким образом, координаты точек пересечения параболы и прямой: \[ (8, 168) \quad \text{и} \quad (-18, -66). \]
