Давайте разберем каждое предложение по порядку и согласуем подлежащее и сказуемое.
На мой праздник (пришло или пришли) большинство моих друзей. Правильный ответ: пришли. Слово "большинство" употребляется с множественным числом, поэтому глагол следует использовать в форме множественного числа.
Часть его души (мечтала или мечтали) другая - об успешном поступлении в университет. Правильный ответ: мечтала. Здесь "часть" является подлежащим и требует согласования с глаголом в единственном числе.
Тринадцать учеников нашей школы (поучаствовал или поучаствовали) в благотворительном забеге. Правильный ответ: поучаствовали. Число "тринадцать" относится к множественному числу, поэтому глагол должен быть также в форме множественного числа.
Оля с Мишей (отправятся или отправится) в поход. Правильный ответ: отправятся. Здесь подлежащее в составе "Оля и Миша" также воспринимается как множественное число, следовательно, используем глагол в форме множественного числа.
Таким образом, правильные ответы: пришли, мечтала, поучаствовали, отправятся. Если нужны дополнительные пояснения, не стесняйтесь задавать вопросы!