Сколько существует различных прямоугольников,периметры которых равны 24см, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?
Чтобы найти количество различных прямоугольников с целыми сторонами и периметром 24 см, начнем с формулы периметра прямоугольника:
\[ P = 2(a + b) \]
где \( a \) и \( b \) — длины сторон прямоугольника. Если периметр равен 24 см, то:
\[ 2(a + b) = 24 \]
Разделим обе стороны на 2:
\[ a + b = 12 \]
Теперь мы можем выразить одну сторону через другую:
\[ b = 12 - a \]
Так как \( a \) и \( b \) должны быть целыми положительными числами, мы можем подставить разные значения для \( a \) и найти соответствующее значение \( b \).
Рассмотрим возможные значения для \( a \) от 1 до 11 (поскольку при \( a = 12 \) значение \( b \) станет равным 0, что недопустимо):
- Если \( a = 1 \), то \( b = 11 \) (прямоугольник 1 на 11)
- Если \( a = 2 \), то \( b = 10 \) (прямоугольник 2 на 10)
- Если \( a = 3 \), то \( b = 9 \) (прямоугольник 3 на 9)
- Если \( a = 4 \), то \( b = 8 \) (прямоугольник 4 на 8)
- Если \( a = 5 \), то \( b = 7 \) (прямоугольник 5 на 7)
- Если \( a = 6 \), то \( b = 6 \) (квадрат 6 на 6)
Мы наблюдаем, что каждый набор значений \( (a, b) \) создаёт один уникальный прямоугольник, за исключением случаев, когда стороны равны, то есть квадрат.
Теперь давайте посчитаем уникальные сочетания:
- \( (1, 11) \)
- \( (2, 10) \)
- \( (3, 9) \)
- \( (4, 8) \)
- \( (5, 7) \)
- \( (6, 6) \)
Обратите внимание, что пары \( (a, b) \) и \( (b, a) \) считаются одинаковыми, поэтому мы не учитываем, например, \( (11, 1) \) как отдельный случай.
Таким образом, существуют 6 различных прямоугольников с периметром 24 см и целыми длинами сторон: 1 на 11, 2 на 10, 3 на 9, 4 на 8, 5 на 7, и 6 на 6.
