Решите уравнение: 1) 3x2 − 18 = 0; 3) x2 − x − 20 = 0; 5) x2 + 6x − 2 = 0; 2) 8x2 − 3x = 0; 4) 3x2 − 2x − 8 = 0; 6) x2 − 4x + 6 = 0. 2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу −6, а произведение — числу 3. 3. Одна из сторон прямоугольника на 6 см меньше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 72 см2. 4. Число 5 является корнем уравнения 4x2 + 6x + k = 0. Найдите второй корень уравнения и значение k. 5. При каком значении a уравнение 4x2 + 8x + a = 0 имеет единственный корень? 6. Известно, что x1 и x2 — корни уравнения x2 + 10x + 4 = 0. Не решая уравнения, найдите значение выражения .

Давайте решим каждое из уравнений по порядку:

1. Уравнение: \(3x^2 - 18 = 0\)
   Сначала упростим:
   \(3x^2 = 18\)
   \(x^2 = 6\)
   Теперь найдём корни:
   \(x = \sqrt{6}\) и \(x = -\sqrt{6}\).

2. Уравнение: \(8x^2 - 3x = 0\)
   Вынесем общее значение:
   \(x(8x - 3) = 0\)
   Таким образом, корни:
   \(x = 0\) и \(x = \frac{3}{8}\).

3. Уравнение: \(x^2 - x - 20 = 0\)
   Решим по формуле дискриминанта:
   \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\)
   Корни:
   \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5\)
   \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{1 - 9}{2} = -4\).
   Корни: \(x = 5\) и \(x = -4\).

4. Уравнение: \(3x^2 - 2x - 8 = 0\)
   Сначала находим дискриминант:
   \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100\)
   Теперь найдём корни:
   \(x_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{6} = \frac{2 + 10}{6} = 2\)
   \(x_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{6} = \frac{2 - 10}{6} = -\frac{4}{3}\).

5. Уравнение: \(x^2 + 6x + 3 = 0\)
   Сумма корней \(S = -b/a = -6\), произведение корней \(P = c/a = 3\). Поэтому квадратное уравнение:
   \(x^2 + 6x + 3 = 0\)

Теперь продолжаем с задачами:

2. Составим квадратное уравнение:
Сумма корней \( S = -6\) и произведение \( P = 3\):
Типичное уравнение будет таким:
\(x^2 - Sx + P = 0\)
Подставим значение:
\(x^2 + 6x + 3 = 0\).

3. Найдите стороны прямоугольника:
Обозначим длину одной стороны \( x \), тогда другая сторона \( x - 6 \).
Площадь:
\( x(x - 6) = 72 \)
\( x^2 - 6x - 72 = 0 \)
Решим уравнение:
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324\)
Корни:
\(x_1 = \frac{6 + 18}{2} = 12\), \(x_2 = \frac{6 - 18}{2} = -6\) (отрицательное значение нам не подходит).
Стороны прямоугольника: \(12\) см и \(12 - 6 = 6\) см.

4. Найдите значение \( k \):
Если 5 — корень, подставим его в уравнение:
\(4(5)^2 + 6(5) + k = 0\)
\(100 + 30 + k = 0\)
\(k = -130\).
Теперь, чтобы найти второй корень, используем сумму и произведение корней:
Сумма корней \( S = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \).
Если один корень 5, то другой:
\(5 + x_2 = -\frac{3}{2}\)
\(x_2 = -\frac{3}{2} - 5 = -\frac{13}{2}\).

5. Условие для единственного корня:
Для уравнения \(4x^2 + 8x + a = 0\) нужно, чтобы дискриминант был равен 0:
\(D = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot a = 64 - 16a = 0\)
\(16a = 64\)
\(a = 4\).

6. Найдите значение выражения:
Сумма корней \(x_1 + x_2 = -10\), произведение \(x_1x_2 = 4\).
По формуле корней получаем:
\(x_1, x_2 = -5 \pm \sqrt{25 - 4} = -5 \pm \sqrt{21}\).
Выражение можно найти, либо подставив корни, либо вычислив отдельно.

Если есть какие-то дополнительные вопросы или что-то ещё, что требует пояснения, дайте знать!