Из n аккумуляторов за год хранения k выходит из строя. Наудачу выбирают m аккумуляторов. Определить вероятность того, что среди них l исправных. n = 100, k = 7, m = 5, l = 3

Для решения данной задачи о вероятности выбора исправных аккумуляторов из общего числа, мы можем воспользоваться комбинаторикой. Нам нужно определить вероятность того, что среди случайно выбранных аккумуляторов будет определенное количество исправных.

Для начала, зададим параметры:

• \( n = 100 \) — общее количество аккумуляторов.
• \( k = 7 \) — количество аккумуляторов, вышедших из строя.
• \( m = 5 \) — количество выбранных аккумуляторов.
• \( l = 3 \) — количество исправных аккумуляторов, которые мы хотим найти среди выбранных.

1. Находим количество исправных аккумуляторов: \[ n - k = 100 - 7 = 93 \] То есть, всего 93 исправных аккумулятора.

2. Теперь мы можем использовать формулу для вычисления вероятности, основанной на комбинаторике. Вероятность того, что среди выбранных \( m \) аккумуляторов будут \( l \) исправных, можно найти следующим образом:

   \[ P(X = l) = \frac{\text{C}(M, l) \cdot \text{C}(N, m-l)}{\text{C}(n, m)} \]

   Где:

   • \( \text{C}(a, b) \) — это биномиальный коэффициент, который вычисляется как \(\frac{a!}{b!(a-b)!}\).
   • \( M = 93 \) — количество исправных аккумуляторов.
   • \( N = 7 \) — количество вышедших из строя аккумуляторов.

   Подставим значения:

   • Нужно выбрать \( l = 3 \) исправных из \( M = 93 \).
   • И нужно выбрать \( m-l = 5-3 = 2 \) вышедших из строя аккумуляторов из \( N = 7 \).
   • Общее количество способов выбрать 5 аккумуляторов из 100: \( n = 100 \).

3. Теперь найдем все необходимые биномиальные коэффициенты:

   • \( \text{C}(93, 3) = \frac{93!}{3!(93-3)!} = \frac{93 \times 92 \times 91}{3 \times 2 \times 1} = 140,610 \)
   • \( \text{C}(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \)
   • \( \text{C}(100, 5) = \frac{100!}{5!(100-5)!} = \frac{100 \times 99 \times 98 \times 97 \times 96}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 75,287,520 \)

4. Теперь подставим все это в формулу:

   \[ P(X = l) = \frac{140,610 \cdot 21}{75,287,520} = \frac{2,952,810}{75,287,520} \approx 0.0392 \]

Таким образом, вероятность того, что среди 5 выбранных аккумуляторов будет 3 исправных, составляет приблизительно 0.0392 или 3.92%.