Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, еслиб) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120° Решение для 8 класса

Для решения задачи о равнобедренном треугольнике с основанием \(AB = 18 \) см и углом \(C = 120°\), следуем следующим шагам:

1. Нахождение боковой стороны \(AC = BC\). Поскольку треугольник равнобедренный, обозначим боковые стороны равными \(a\). Мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти длину боковой стороны: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C). \] В нашем случае \(c = 18 \) см, \(C = 120°\), и \(a = b\). Подставим значения: \[ 18^2 = a^2 + a^2 - 2a \cdot a \cdot \cos(120°. \] Поскольку \(\cos(120°) = -\frac{1}{2}\), у нас получится: \[ 324 = 2a^2 + a^2. \] Преобразуем: \[ 324 = 2a^2 + a^2. \] \[ 324 = 3a^2. \] Отсюда: \[ a^2 = \frac{324}{3} = 108. \] \[ a = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ см}. \]

2. Нахождение площади треугольника. Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C). \] Поскольку \(a = b = 6\sqrt{3}\) и \(C = 120°\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot (6\sqrt{3}) \cdot \sin(120°). \] Поскольку \(\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), имеем: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. \] Упрощаем: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{18 \cdot 6 \cdot 3}{4} = \frac{324}{4} = 81 \text{ см}^2. \]

Таким образом, мы нашли боковую сторону равнобедренного треугольника, которая равна \(6\sqrt{3} \approx 10.39 \text{ см}\), и площадь этого треугольника равна \(81 \text{ см}^2\).