Составьте уравнение прямой, которая параллельная прямой y=4x-5 и проходит через центр окружности x^2-8x+y^2+10y-40=0
Чтобы составить уравнение прямой, которая будет параллельна прямой \( y = 4x - 5 \) и проходить через центр окружности, сначала найдём центр данной окружности.
Уравнение окружности имеет вид: \[ x^2 - 8x + y^2 + 10y - 40 = 0. \]
Для нахождения центра окружности, преобразуем это уравнение к стандартному виду. Сначала сгруппируем \( x \) и \( y \) и выделим полный квадрат.
Для \( x \): \[ x^2 - 8x = (x - 4)^2 - 16. \]
Для \( y \): \[ y^2 + 10y = (y + 5)^2 - 25. \]
Теперь подставим это обратно в уравнение окружности: \[ (x - 4)^2 - 16 + (y + 5)^2 - 25 - 40 = 0. \] Упростим: \[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 - 81 = 0, \] или \[ (x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 81. \]
Из этого уравнения видно, что центр окружности находится в точке \( (4, -5) \).
Теперь, зная, что прямая должна быть параллельна прямой \( y = 4x - 5 \), мы можем использовать её угловой коэффициент \( 4 \) для создания уравнения искомой прямой. Прямая имеет вид: \[ y = 4x + b, \] где \( b \) — это свободный член.
Чтобы найти \( b \), подставим координаты центра окружности \( (4, -5) \) в уравнение прямой: \[ -5 = 4(4) + b. \] Решим это уравнение для \( b \): \[ -5 = 16 + b \Rightarrow b = -5 - 16 = -21. \]
Таким образом, уравнение искомой прямой будет: \[ y = 4x - 21. \]
