∫ (cos(lnx/2)^2) dx

Чтобы решить интеграл \(\int \cos^2\left(\frac{\ln x}{2}\right) dx\), мы можем воспользоваться методом замены и тригонометрическим тождеством.

1. Используем тригонометрическое тождество: \[ \cos^2 A = \frac{1 + \cos(2A)}{2} \] В нашем случае \(A = \frac{\ln x}{2}\), следовательно: \[ \cos^2\left(\frac{\ln x}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\ln x)}{2} \]

2. Подставим это в наш интеграл: \[ \int \cos^2\left(\frac{\ln x}{2}\right) dx = \int \frac{1 + \cos(\ln x)}{2} dx = \frac{1}{2}\int dx + \frac{1}{2}\int \cos(\ln x) dx \]

3. Решим первый интеграл: \[ \frac{1}{2}\int dx = \frac{x}{2} \]

4. Теперь решим второй интеграл \(\int \cos(\ln x) dx\). Здесь удобнее использовать замену \(u = \ln x\), откуда \(du = \frac{1}{x} dx\) или \(dx = x du = e^u du\): \[ \int \cos(\ln x) dx = \int \cos(u) e^u du \]

5. Интегрируем часть по частям: Пусть \(v = e^u\) и \(dw = \cos(u) du\). Тогда: \[ dv = e^u du, \quad w = \sin(u) \]

   Теперь применим формулу интегрирования по частям: \[ \int v \, dw = vw - \int w \, dv \] Получаем: \[ \int e^u \cos(u) du = e^u \sin(u) - \int \sin(u) e^u du \]

   Нужно снова интегрировать по частям, так что обозначим \(\int e^u \sin(u) du\) как \(J\): \[ J = e^u \sin(u) - \int e^u \cos(u) du \]

   Обозначим этот интеграл как \(I\), тогда: \[ I = e^u \sin(u) - J \]

   Подставив \(J\), получаем систему уравнений: \[ I + J = e^u \sin(u) \]

6. Итак, для \(I\) и \(J\): \[ I = \frac{1}{2} e^u \sin(u) + C \] Подставив обратно \(u = \ln x\): \[ \int \cos(\ln x) dx = \frac{1}{2} x \sin(\ln x) + C \]

7. Собираем всё вместе: \[ \int \cos^2\left(\frac{\ln x}{2}\right) dx = \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} x \sin(\ln x)\right) + C \] Это можно упростить: \[ = \frac{x}{2} + \frac{x}{4} \sin(\ln x) + C \]

Таким образом, окончательное решение интеграла: \[ \int \cos^2\left(\frac{\ln x}{2}\right) dx = \frac{x}{2} + \frac{x}{4} \sin(\ln x) + C \]