Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 3), В (-1; 0), С (4; 1). а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Чтобы доказать, что треугольник ABC прямоугольный, нам нужно показать, что один из его углов равен 90 градусам. Это можно сделать с помощью вычисления скалярных произведений векторов, образованных сторонами треугольника.

1. Найдем векторы сторон треугольника:

   • Вектор AB: \( \vec{AB} = B - A = (-1 - 1; 0 - 3) = (-2; -3) \)
   • Вектор BC: \( \vec{BC} = C - B = (4 - (-1); 1 - 0) = (5; 1) \)
   • Вектор CA: \( \vec{CA} = A - C = (1 - 4; 3 - 1) = (-3; 2) \)

2. Вычислим скалярные произведения векторов:

   • Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{BC} \): \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-2) \cdot 5 + (-3) \cdot 1 = -10 - 3 = -13 \]
   • Скалярное произведение векторов \( \vec{BC} \) и \( \vec{CA} \): \[ \vec{BC} \cdot \vec{CA} = 5 \cdot (-3) + 1 \cdot 2 = -15 + 2 = -13 \]
   • Скалярное произведение векторов \( \vec{CA} \) и \( \vec{AB} \): \[ \vec{CA} \cdot \vec{AB} = (-3) \cdot (-2) + 2 \cdot (-3) = 6 - 6 = 0 \]

3. Заключение: Поскольку скалярное произведение векторов \( \vec{CA} \) и \( \vec{AB} \) равно нулю (\( \vec{CA} \cdot \vec{AB} = 0 \)), это означает, что эти два вектора перпендикулярны, а значит, угол между ними равен 90 градусам. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC прямоугольный.