В вертикальные сообщающиеся сосуды поверх ртути (3) налиты различные жидкости. В один сосуд — столбик воды (1), а в другой — столбик спирта (2) высотой 25 см (см. рисунок). Определите высоту столбика воды, если разность уровней ртути в сосудах равна 5 см
Чтобы решить эту задачу, нужно использовать принцип сообщающихся сосудов и закон Паскаля. Разберёмся шаг за шагом.
Имеем два сосуда:
- В первом сосуде – столбик воды (1).
- Во втором сосуде – столбик спирта (2) высотой 25 см.
По условию, разность уровней ртути в сосудах составляет 5 см. Это значит, что один из уровней ртути выше другого на 5 см.
Для начала предположим, что уровень ртути в сосуде со спиртом (2) выше уровня ртути в сосуде с водой (1). Тогда разность давления, вызванная разной высотой спирта и высотой столбика воды, может быть рассчитана так:
Давление в колонне жидкости определяется формулой: \[ P = \rho \cdot g \cdot h, \] где
- \( P \) – давление,
- \( \rho \) – плотность жидкости,
- \( g \) – ускорение свободного падения,
- \( h \) – высота столбика жидкости.
Плотность воды примерно \( 1000 \, \text{кг/м}^3 \), а плотность спирта (например, этанола) примерно \( 789 \, \text{кг/м}^3 \).
Давление от столбика спирта (2): \[ P_{\text{спирт}} = \rho_{\text{спирт}} \cdot g \cdot h_{\text{спирт}} = 789 \cdot g \cdot 0.25, \] где \( h_{\text{спирт}} = 0.25 \, \text{м} \).
Давление от столбика воды (1): \[ P_{\text{вода}} = \rho_{\text{вода}} \cdot g \cdot h_{\text{вода}}. \]
По условиям задачи, разность давления равна \( 5 \, \text{см} \) ртути, что соответствует давлению: \[ P_{\text{разность}} = \rho_{\text{ртут}} \cdot g \cdot h_{\text{разность}}, \] где \( h_{\text{разность}} = 0.05 \, \text{м} \), а плотность ртути примерно \( 13600 \, \text{кг/м}^3 \).
Теперь, подставляя значения, мы можем записать уравнение, учитывающее разность давлений:
\[ P_{\text{вода}} - P_{\text{спирт}} = P_{\text{разность}}, \]
или
\[ \rho_{\text{вода}} \cdot g \cdot h_{\text{вода}} - \rho_{\text{спирт}} \cdot g \cdot h_{\text{спирт}} = \rho_{\text{ртут}} \cdot g \cdot h_{\text{разность}}. \]
С учётом \( g \) можно его сократить:
\[ \rho_{\text{вода}} \cdot h_{\text{вода}} - \rho_{\text{спирт}} \cdot h_{\text{спирт}} = \rho_{\text{ртут}} \cdot h_{\text{разность}}. \]
Теперь подставляем известные значения:
\[ 1000 \cdot h_{\text{вода}} - 789 \cdot 0.25 = 13600 \cdot 0.05. \]
Вычислим правую часть:
\[ 13600 \cdot 0.05 = 680. \]
Теперь подставим в уравнение:
\[ 1000 \cdot h_{\text{вода}} - 197.25 = 680. \]
Переносим \( 197.25 \) на правую сторону:
\[ 1000 \cdot h_{\text{вода}} = 680 + 197.25, \] \[ 1000 \cdot h_{\text{вода}} = 877.25. \]
Теперь найдем высоту воды:
\[ h_{\text{вода}} = \frac{877.25}{1000} = 0.87725 \, \text{м} = 87.73 \, \text{см}. \]
Таким образом, высота столбика воды составляет приблизительно 87.73 см.
