y=x³-3x²+2; [0;2]

Чтобы проанализировать функцию \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) на интервале \([0; 2]\), давайте начнем с нахождения её значений в крайних точках и определения её поведения на данном интервале.

1. Подставим границы интервала:

   • При \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 = 2 \]
   • При \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \]

2. Находим производную: Чтобы определить, где функция возрастает или убывает, мы найдем её производную: \[ y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] Теперь приравняем производную к нулю: \[ 3x(x - 2) = 0 \] Это даёт корни \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

   Проверим знак производной на интервале:

   • Для \( x \in (0; 2) \), например \( x = 1 \): \[ y'(1) = 3 \cdot 1 \cdot (1 - 2) = -3 < 0 \] Это значит, что функция убывает на интервале \((0; 2)\).

3. Объяснение поведения функции:

   • В точке \( x = 0 \) функция имеет значение \( y(0) = 2 \).
   • В точке \( x = 2 \) функция имеет значение \( y(2) = -2 \).
   • Поскольку функция убывает на интервале, это означает, что её значение на промежутке идет от \( 2 \) до \( -2 \).

4. Результат: Таким образом, мы можем заключить, что функция \( y = x^3 - 3x^2 + 2 \) на интервале \([0; 2]\) убывает от \( 2 \) до \( -2 \).

Если у вас есть ещё вопросы или необходимо прояснить какие-то моменты, не стесняйтесь обращаться!