Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и с. Постройте векторы: а) 2а + 3b - 4с; б) 1/2а-b + 1/3с.

Чтобы построить векторы и выполнить операции с ними, давайте начнём с шагов, которые нужно выполнить.

1. Начертите векторы:

   • Векторы \( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \) должны быть неколлинеарными, что означает, что они не лежат на одной прямой. Вы можете выбрать произвольные направления для каждого из векторов. Например, вы можете нарисовать \( \mathbf{a} \) по оси X, \( \mathbf{b} \) по оси Y и \( \mathbf{c} \) где-то между ними, но не на одной прямой с \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).

2. Определение координат векторов: Предположим, что вы присвоили вектору \( \mathbf{a} \) координаты (2, 0), вектору \( \mathbf{b} \) (0, 3), и вектору \( \mathbf{c} \) (1, 1). Это всего лишь пример, вы можете выбрать свои координаты.

3. Выполнение операций:

   а) Для вектора \( 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - 4\mathbf{c} \):

   • Сначала вычислим \( 2\mathbf{a} \): \[ 2\mathbf{a} = 2 \times (2, 0) = (4, 0) \]
   • Затем \( 3\mathbf{b} \): \[ 3\mathbf{b} = 3 \times (0, 3) = (0, 9) \]
   • И \( -4\mathbf{c} \): \[ -4\mathbf{c} = -4 \times (1, 1) = (-4, -4) \]
   • Теперь сложим все векторы: \[ 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - 4\mathbf{c} = (4, 0) + (0, 9) + (-4, -4) = (4 + 0 - 4, 0 + 9 - 4) = (0, 5) \]

   б) Для вектора \( \frac{1}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b} + \frac{1}{3}\mathbf{c} \):

   • Сначала вычислим \( \frac{1}{2}\mathbf{a} \): \[ \frac{1}{2}\mathbf{a} = \frac{1}{2} \times (2, 0) = (1, 0) \]
   • Затем \( -\mathbf{b} \): \[ -\mathbf{b} = - (0, 3) = (0, -3) \]
   • И \( \frac{1}{3}\mathbf{c} \): \[ \frac{1}{3}\mathbf{c} = \frac{1}{3} \times (1, 1) \approx (0.33, 0.33) \]
   • Теперь сложим все векторы: \[ \frac{1}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b} + \frac{1}{3}\mathbf{c} = (1, 0) + (0, -3) + (0.33, 0.33) = (1 + 0 + 0.33, 0 - 3 + 0.33) \approx (1.33, -2.67) \]

4. Рисунок:

   • Начертите результирующие векторы на координатной плоскости, начиная от начала координат (0,0) и заканчивая в точках \( (0, 5) \) для \( 2\mathbf{a} + 3\mathbf{b} - 4\mathbf{c} \) и \( (1.33, -2.67) \) для \( \frac{1}{2}\mathbf{a} - \mathbf{b} + \frac{1}{3}\mathbf{c} \).

Этот процесс поможет вам увидеть, как линейные комбинации векторов визуально представляются на графике. Если возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте знать!