Найдите область значения функции у=4/5cosx/5-3

Чтобы найти область значения функции \( y = \frac{4}{5} \cos\left(\frac{x}{5}\right) - 3 \), сначала рассмотрим, какие значения может принимать косинус.

1. Косинус: Функция \( \cos(z) \) принимает значения в диапазоне от -1 до 1 для любого действительного аргумента \( z \). В нашем случае аргументом является \( \frac{x}{5} \).

2. Масштабирование: Умножив косинус на \( \frac{4}{5} \), мы масштабируем его значения. Максимальное значение будет \( \frac{4}{5} \times 1 = \frac{4}{5} \), а минимальное \( \frac{4}{5} \times (-1) = -\frac{4}{5} \).

3. Смещение: Далее мы вычитаем 3 из всех значений, что изменит диапазон. Таким образом:

   • Максимальное значение станет \( \frac{4}{5} - 3 = \frac{4}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{11}{5} \).
   • Минимальное значение станет \( -\frac{4}{5} - 3 = -\frac{4}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{19}{5} \).

4. Область значения: Таким образом, область значения функции \( y = \frac{4}{5} \cos\left(\frac{x}{5}\right) - 3 \) будет от \( -\frac{19}{5} \) до \( -\frac{11}{5} \).

Итак, область значения функции: \[ y \in \left[-\frac{19}{5}, -\frac{11}{5}\right]. \]