Проверочная работа по теме «Функция. Числовая окружность» II ВАРИАНТ 1. Построить график функ функции f(x) =Vx + 2, если x 2 0; (-x + 2,если - 3 x< 0, a) найти область…

Давайте разберем ваши вопросы по теме «Функция. Числовая окружность» по пунктам.

1. Построить график функции \( f(x) \)

Функция определена как:

\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} + 2, & \text{если } x \geq 0 \\ -x + 2, & \text{если } -3 < x < 0 \end{cases} \]

a) Область определения и область значений функции:

• Область определения:

  • Для первой части \( \sqrt{x} + 2 \): \( x \) должно быть неотрицательным, то есть \( x \geq 0 \).
  • Для второй части \( -x + 2 \): \( -3 < x < 0 \).

  Объединив эти интервалы, область определения функции: \[ D(f) = (-3, 0) \cup [0, +\infty) \]

• Область значений:

  • Для \( x \geq 0 \): \( f(x) = \sqrt{x} + 2 \) (начиная с 2 и выше).
  • Для \( -3 < x < 0 \): \( f(x) = -x + 2 \) (значения варьируются от 5 до 2, но 2 не включается).

  Объединив все возможные значения, область значений функции: \[ Y(f) = (2, 5] \]

б) Вычислить значения функции в точках -4, -2, 0, 4:

• \( f(-4) \): здесь функция не определена, потому что -4 не входит в область определения.
• \( f(-2) = -(-2) + 2 = 4 \)
• \( f(0) = \sqrt{0} + 2 = 2 \)
• \( f(4) = \sqrt{4} + 2 = 4 \)

в) Найти промежутки монотонности функции:

• Для \( x \geq 0 \) (функция \( f(x) = \sqrt{x} + 2 \)):

  • Производная \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \), что положительно, следовательно, функция возрастает на \( [0, +\infty) \).

• Для \( -3 < x < 0 \) (функция \( f(x) = -x + 2 \)):

  • Производная \( f'(x) = -1 \), что отрицательно, следовательно, функция убывает на \( (-3, 0) \).

Таким образом, \( f(x) \) возрастает на \( [0, +\infty) \) и убывает на \( (-3, 0) \).

2. Исследуйте функцию \( y = -x^6 + x^2 \) на четность:

Чтобы исследовать функцию на четность, нужно проверить:

• \( y(-x) = -(-x)^6 + (-x)^2 = -x^6 + x^2 = y(x) \)

Функция \( y = -x^6 + x^2 \) является четной, так как \( y(-x) = y(x) \).

3. Найдите координаты заданных точек и обозначьте их на числовой окружности:

• a) \( M(2\pi) \) - координаты \( (\cos(2\pi), \sin(2\pi)) = (1, 0) \)
• б) \( N(2\pi) \); здесь \( N(2\pi) \) аналогично \( M \), координаты такие же - \( (1, 0) \).
• в) Если имеется \( P \), но информация неполная. Пожалуйста, уточните, какую координату вы имеете в виду, чтобы продолжить.

4. Каким числам соответствуют точки на числовой окружности с ординатой \( y = -1 \)?

Точки, соответствующие \( y = -1 \), будут:

• \( (\cos(\frac{3\pi}{2}), \sin(\frac{3\pi}{2})) = (0, -1) \)

Таким образом, это точка \( \frac{3\pi}{2} \).

5. Запишите, каким числам соответствуют точки на числовой окружности, абсцисса которых удовлетворяет следующему неравенству:

\( x \) должен удовлетворять \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \) и т.д.). Таким образом, на числовой окружности это будет относиться к точкам влево от оси \( y \) – \( x = -1, -\frac{\pi}{2} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно прояснить определенные моменты, пожалуйста, дайте знать!