2.В треугольнике DEK проведена биссектриса ЕМ, причем DE = 6см, ЕК = 9см, МК = 4 см. Найдите длину отрезка DM. 3.Одна из диагоналей трапеции равна 28см и делит другую диагональ на…

Давайте решим каждую из задач по порядку.

Задача 2

В треугольнике DEK проведена биссектриса EM. Зная, что \( DE = 6 \) см, \( EK = 9 \) см, и \( MK = 4 \) см, можем воспользоваться свойством биссектрисы, которое гласит, что отношение отрезков, на которые делит биссектрисой основание, равно отношению смежных сторон. Таким образом:

\[ \frac{DM}{MK} = \frac{DE}{EK} \Rightarrow \frac{DM}{4} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

Решая это уравнение, получаем:

\[ DM = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3} \text{ см} \]

Задача 3

Дана трапеция с диагональю, которая делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Такой подходнем формуле, которая поможет нам найти отрезки, на которые точка пересечения делит первую диагональ (пусть она будет \( x \) и \( y \)).

\[ \frac{x}{y} = \frac{5}{9} \]

Согласно свойству диагоналей трапеции:

\[ x + y = 28 \]

Теперь выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = 28 - x \]

Подставив это в соотношение, получаем:

\[ \frac{x}{28 - x} = \frac{5}{9} \]

Перекрестно умножим:

\[ 9x = 5(28 - x) \Rightarrow 9x = 140 - 5x \Rightarrow 14x = 140 \Rightarrow x = 10 \]

Тогда, подставив назад, найдем \( y = 28 - 10 = 18 \).

Ответ: отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ, равны 10 см и 18 см.

Задача 4

Дано, что \( AM = 2 \text{ см} \), \( BM = 9 \text{ см} \) и \( CM = 2 \cdot DM \). Поскольку отрезки хорд пересекаются, мы можем использовать теорему о произведении отрезков:

\[ AM \cdot BM = CM \cdot DM \]

Обозначим \( DM = x \). Тогда \( CM = 2x \).

Теперь подставим:

\[ 2 \cdot 9 = 2x \cdot x \Rightarrow 18 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \]

Следовательно, \( DM = 3 \) см и \( CM = 6 \) см.

Задача 5

В треугольнике \( ABC \) точка \( M \) разбивает сторону \( BC \) в отношении \( BM : MC = 3: 9 \). Это отношение можно упростить до \( 1 : 3 \). Обозначим \( BM = x \) и \( MC = 3x \). Таким образом, длина отрезка \( BC = 4x \).

Так как линия \( MK \) параллельна стороне \( AB \), по свойству пропорциональности треугольников, получаем:

\[ \frac{BK}{AB} = \frac{BM}{BC} \]

Из условия \( BK = 9 \) см, а \( BC = 4x \):

\[ \frac{9}{AB} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4} \Rightarrow AB = 36 \text{ см} \]

Задача 6

Дан периметр параллелограмма \( P = 70 \) см, а высоты \( h_1 = 3 \) см и \( h_2 = 4 \) см. Параллелограмм имеет две пары равных сторон, и его периметр можно записать как:

\[ P = 2(a + b) = 70 \Rightarrow a + b = 35 \]

Площадь параллелограмма можно найти как \( S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2 \):

\[ a \cdot 3 = b \cdot 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3}b \]

Теперь подставим \( a \) в уравнение \( a + b = 35 \):

\[ \frac{4}{3}b + b = 35 \Rightarrow \frac{7}{3}b = 35 \Rightarrow b = 15 \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a + 15 = 35 \Rightarrow a = 20 \]

Таким образом, стороны параллелограмма равны \( 20 \) см и \( 15 \) см.

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется уточнение, не стесняйтесь спрашивать!