Найдите область определения функции: 1) f(x) = x² - 5/ x²-6x-16 2) f(x)=√x+2+ 8/x²-16

Для нахождения области определения функций, сначала необходимо обратить внимание на ограничения, которые накладываются на каждую из них.

1. Для функции \( f(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 - 6x - 16} \):

   • Знаменатель не должен равняться нулю. Решим уравнение \( x^2 - 6x - 16 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]
   • Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 10}{2} = \{8, -2\} \]
   • Таким образом, функция не определена в точках \( x = 8 \) и \( x = -2 \). Следовательно, область определения: \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq 8, x \neq -2 \} \]

2. Для функции \( f(x) = \sqrt{x + 2} + \frac{8}{x^2 - 16} \):

   • Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x + 2 \geq 0 \) приводит к \( x \geq -2 \).
   • Знаменатель не должен равняться нулю: \( x^2 - 16 = 0 \) также решим: \[ x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) = 0 \Rightarrow x_{1,2} = \{4, -4\} \]
   • Поэтому функция не определена в точках \( x = 4 \) и \( x = -4 \). Условия, которые накладывает область определения:
     • \( x \geq -2 \)
     • \( x \neq 4 \) и \( x \neq -4 \)

Теперь учитывая все условия, область определения будет представлена как: \[ D_f = [-2, 4) \cup (4, +\infty) \]

Таким образом, окончательные области определения для заданных функций:

1. \( D_f = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \neq 8, x \neq -2 \} \)
2. \( D_f = [-2, 4) \cup (4, +\infty) \)